自明な自己同型性を持つグラフの生成

暗号化モデルを修正しています。その不適切さを示すために、グラフ同型に基づいて考案されたプロトコルを考案しました。

「グラフ同型問題のハードインスタンス」を生成できるBPPアルゴリズムの存在を想定することは、「当たり前」です（まだ議論の余地があります！）。（同型の証人と一緒に。）

私の考案したプロトコルでは、1つの追加要件を満たすこのようなBPPアルゴリズムの存在を想定します。

• 生成されたグラフをおよびG 2とします。G 1をG 2にマップする目撃者（順列）は1つだけです。$G_1$$G_2$$G_1$$G_2$

これは、に自明な自己同型のみがあることを意味します。つまり、次のように機能するBPPアルゴリズムの存在を想定しています。$G_1$

1. 入力、自明な自形のみを持つように、n頂点グラフG 1を生成します。$1^n$$n$$G_1$
2. ランダム順列選択かけて[ N ] = { 1 、2 、... 、N }、および上に適用G 1取得するG 2。$\pi$$[n]=\{1,2,\ldots,n\}$$G_1$$G_2$
3. 出力。$\langle G_1,G_2,\pi \rangle$

私はステップ1で、それを想定つもりだ、、必要に応じて発生させることができ、 ⟨ G 1、G 2は ⟩あるハードグラフ同型問題のインスタンス。（「ハード」という言葉を自然に解釈してください。正式な定義はAbadi et alによって与えられます。Impaliazzo＆Levinの論文も参照してください。）$G_1$$\langle G_1,G_2 \rangle$

私の仮定は合理的ですか？誰かが私にいくつかの参考文献を教えてもらえますか？

少なくとも、最初に考えた素朴なアプローチは機能しません。私が考えているアプローチは、純粋にランダムに生成することです。ほとんどすべてのグラフには対称性がないため（つまり、n → ∞でn個の頂点上のグラフの比が自明でない同型の割合は1に近づく）、G 1には高い確率で非自明な自己同型がなくなります。ただし、グラフが一様にランダムに選択されるグラフ同型の平均ケースバージョンは線形時間で解くことができるため[BK]、ハードインスタンスの分布は生成されません。$G_1$$n$$n \to \infty$$G_1$

しかし、2番目の素朴なアプローチには、動作する可能性があります：ランダムな正則グラフを生成します（一定次数のグラフ同型はPにあるため）。また、これには高い確率の非自明な自己同型[KSV]はありませんが、Babai-Kuceraの結果は適用されません（論文で指摘されているように）。これが不死身のジェネレータであることを明らかにするにはいくつかの仮定が必要ですが、平均ケースの正規グラフ同型が最悪の場合のグラフ同型と同じくらい難しいことを無条件に証明することは想像できますが、これがどれほど可能性があるかはわかりません。（最悪の場合の正規グラフ同型は、最悪の場合の（一般的な）グラフ同型と同等であることに注意してください。）

[BK]。Laszlo Babai、Ludik Ku​​cera、線形平均時間でのグラフの正準ラベル付け。FOCS 1979、pp.39-46。

[KSV] Jeong Han Kim、Benny Sudakov、およびVan H. Vu。ランダム正則グラフとランダムグラフの非対称性について。Random Structures＆Algorithms、21（3-4）：216–224、2002 。こちらもご覧ください。