ハミルトニアンパスにマッチングを追加して、指定された頂点のペア間の最大距離を短縮します

次の問題の複雑さは何ですか？

入力：

• K n$H$ハミルトン経路で$K_n$
• $R \subseteq [n]^2$頂点のペアのサブセット
• 正の整数$k$

クエリ：すべての、一致する がありますか？ （ここで）（V 、U ）∈ R D G（V 、U ）≤ K G = （[ N ] 、M ∪ H $M$$(v,u) \in R$$d_G(v,u) \leq k$
$G = ([n], M\cup H)$

私はこの問題について友人と話し合ってきました。私の友人は、問題は多項式時間にあると考えています。NP完全だと思います。

この答えは間違っています。

あなたの友人は正しい。あなたの問題（Sashoによって解釈される）は、一致するカーディナリティに制限を課しません。したがって、Rのペア間のマッチングとしてCを選択します。次に、任意の正の整数kについて、Rのすべてのペア間の距離はk未満です。$C$$C$$R$$k$$R$$k$

一致するとパスPの両方からのエッジを強制的にパスに含めると、問題が面白くなります。$C$$P$

更新：以下の答えは正しくありません。ハミルトニアンパスがではなく任意のグラフにあると誤って仮定したためです。私はそれを削除せずに残します、おそらくそれを修正することができるか、別の答えのヒントを提供します。$K_n$

NP完全だと思います。これは、3SATからの非常に非公式/迅速な削減のアイデアです。

すべての変数に対して、「変数ガジェット」を追加します。$x_i$

• 3つのノード$X_i, +X_i, -X_i$
• 2つの可変エッジおよび（X i、− X i$(X_i,+X_i)$$(X_i,-X_i)$

ソースノードを追加し、それをすべての変数X iに接続します。$S$$X_i$

各節のためのノード追加のC jは、対応する変数に接続+ X Iまたは- X I形句こと。$C_j$$C_j$$+X_i$$-X_i$

次の写真は表す：$(+x_1 \lor -x_2 \lor -x_3) \land (-x_2 \lor x_3 \lor x_4)$

集合（連結されなければならないノード）を含む （S 、C 1）、（S 、C 2）、。。$R$$(S, C_1), (S,C_2), ...$

単純なパスは、可変エッジ（X i、+ X i）および（X i、− X i）を除くすべての「BLUE」エッジを含める必要があります（上の図の青いエッジは、Pに含めるエッジを表します）。$P$$(X_i, +X_i)$$(X_i, -X_i)$$P$

この時点で、から各節ノードC jへの最短パスが3以下である場合にのみ、初期式は充足可能です。実際の句に到達するSを、我々は少なくとも一つの変数通過しなければならない三つのステップでX I：S → X I → ± X I → C jは。したがって、X i → + X iまたはX i → − X i）の2つのエッジのいずれかをトラバース し、それをCに含める必要があります$S$$C_j$$S$$X_i$$S \to X_i \to \pm X_i \to C_j$$X_i \to +X_i$$X_i \to -X_i)$$C$（構造上、一部ではないため）。ただし、頂点を共有しているため、両方を含めることはできません。$P$

ただし、一部のノードには複数の入射青エッジがあるため、すべての青エッジを含む単純なパスを構築できるかどうかはわかりません。$P$

これを修正するために、各ノードを複数の入射ブルーエッジに置き換えますに含まれる入射ブルーエッジとそれらを分離するエッジのペアのみを含むツリーで、節ノードに到達するためにCに含まれます。$P$$C$

元のグラフは次のようになります。

$K$$C_j$$S$

$C$

$P$