グラフをノード分離サイクルに分割する

関連問題： Veblenの定理は、「グラフが偶数の場合にのみ、サイクル分解を認める」と述べています。サイクルはエッジがばらばらですが、必ずしもノードがばらばらではありません。別の言い方をすれば、「グラフのエッジセットをサイクルに分割できるのは、すべての頂点が偶数次である場合に限ります」。

私の問題：グラフをノード分離サイクルに分割することを誰もが研究したのだろうか。つまり、グラフ頂点をに分割し、によって誘導される各サブグラフはハミルトニアンです。 $V$ $G$ $V_1, V_2, \cdots, V_k$ $V_i$

NP困難ですか、それとも簡単ですか？

より関連する問題： 三角形への分割はNP完全です。（「コンピューターと難治性」の68ページ）

事前にご連絡いただきありがとうございます。^^

cc.complexity-theory graph-theory co.combinatorics

— チャン・ペン
ソース

マッチングは簡単に削減できます。アルゴリズムのよく知られた練習。

— チャンドラチェクリ

これはあなたの問題ですか：en.wikipedia.org/wiki/Vertex_cycle_cover？

— トーマスエーレ

@ThomasAhleありがたいことに、私はそのwikiページを知りませんでした。そのwikiページで言及されている「ディスジョイントサイクルカバー」と呼ばれます。

— 鵬張

頂点独立サイクルへの分割は、2正規サブグラフと同じもので、一般に2ファクターとして知られています。（存在する場合）マッチングに基づくアルゴリズムにより、多項式時間で見つけることができます。~~たとえば、このリンクを参照してください。~~

ETA 2013年11月：以下のコメントから、上記のリンク元からの削減は間違っているようです。ただし、問題を完全に一致するまで減らすことができるという記述は正しいままです。正しい削減は、WT Tutte（1954）、「有限グラフの因子定理の簡単な証明」、カナダJ. Math。6：347-352。

各頂点を次数で完全な2部グラフ置き換えます $v$ $d$ 、及び各エッジを表しの一つの頂点からエッジによって元のグラフののいずれかの頂点（と2分割の側の各頂点ようにAのように頂点） 2分割のその側には、そのようなエッジが1つだけあります。 $G_v=K_{d,\,d-2}$ $uv$ $G_u$ $G_v$ $d$ $G_v$

次いで、修飾されたグラフで完全一致が一致しなければならないの2分割のその側に頂点とから必要性と一致することがちょうど二つの自由な頂点を残し、他の側に頂点を他のサブグラフ隣人。このようにして、変更されたグラフの完全な一致は、元のグラフのサイクルカバーと1対1に対応します。 $d-2$ $G_v$ $d-2$ $d$ $G_u$

— デビッド・エップスタイン
ソース

わかりません。このアルゴリズムについて私が見つけたすべての言及は、オイラーツアーの計算から始まります。ただし、オイラーツアーがなくてもサイクルをカバーできるグラフはたくさんあります。すべてのエッジを使用する必要がない場合もPにありますか？

— トーマスアール

リンクした記事を読みましたか？オイラーツアーについての言及はありません。

— デビッドエップシュタイン

理解するのは少し難しいです。あなたが構築すると

各エッジを変更することにより、

E^{'}

$E'$

からエッジまで

に

（

）どのように配置するためにどのエンド知っ

とに入れている

？...紙は「ちょうど秒1を取る」ように見えるが、それは有向グラフではありません

(i, j)

$(i,j)$

V

$V$

V^{'}

$V'$

(i, j^{'})

$(i,j')$

V

$V$

V^{'}

$V'$

— トーマスAhle

つまり、すべての無向エッジを各方向の有向エッジに変換することもできますが、マッチングにより多くの「長さ2」サイクルが得られる可能性があります。

— トーマスアール

@ThomasAhleは明らかに用語を混同しました。私が意味したのは、

通常のスパニンググラフ、別名

ファクターです

k

$k$

k

$k$

— マンフレッド・ワイス