木を持つ部分グラフ同型

我々は大規模な（有向）グラフがある場合はと小さい根付いた木の、のサブグラフ見つけるための最もよく知られている複雑なものですへの同型を？と両方がツリーであり、が平面であるか、ツリー幅（およびその他）に境界があるサブツリー同型の結果を知っていますが、このグラフとツリーの場合はそうではありません。 $G$$H$$G$$H$$G$$H$$G$

任意の固定グラフかどうかを質問の（誘起）部分グラフである一次定義可能な特性である、すなわち、すべてのために式がある（）ようにの（誘起）部分グラフである場合（）の場合のみ。G H φ H ψ H H G G ⊨ φ H G ⊨ ψ $H$$G$$H$$\varphi_H$$\psi_H$$H$$G$$G \models \varphi_H$$G\models\psi_H$

モデル検査の問題は、（局所的に）マイナーを除外するグラフのクラスと（局所的に）有界な拡張のクラスで扱いやすい固定パラメータであることは以前から知られていました。最近、Grohe、Kreutzer、およびS.は、より一般的なメタ定理を発表しました。すべての1次特性は、グラフのどこにも密集していないクラスでほぼ線形時間で決定できると述べています。

あなたの質問に対して、これは次のことを意味します。してみましょう固定根ざした木も。次に、が平面の場合、が入力（有向または無向）グラフ（誘導）部分グラフであるか、より一般的にはマイナーを除外するクラスから、または有界拡張のクラスからであるかを線形時間で決定できます。が、マイナーをローカルに除外するクラスから、またはローカルに限定された展開のクラスから、または最も一般的に、がどこにも密集していないグラフのクラスからである場合、問題はほぼ線形時間で決定できます。H G G G $H$$H$$G$$G$$G$$G$

ランダム化された予想時間で解くことができます。ここで、は検出される小さな有向木のサイズであり、はそれを検出する大きな有向グラフのエッジの数です。N. Alon、R。Yuster、およびU. Zwick（1995）の定理6.1を参照してください。色分け。J. ACM 42（4）：844から856。アロン等。また、アルゴリズムはランダム化を解除できるが、その部分の詳細は提供しないと述べています。決定論的な時間は、ように少し長くなると思います。k m O （k $O(2^km)$$k$$m$$O(k!\,m)$

おそらく、サブグラフ同型のパラメータ化された複雑さに関するMarx、Pilipczukの研究を探しています。技術的には、無向グラフのみを対象としていますが、樹木硬度結果を根付き樹木に簡単に適合させることができると思います。問題に関連する肯定的な結果は、以前の回答で既に説明されています。$H$