結び目問題に触発されたGIへのアプローチ

GIとKnot Problemはどちらも、数学的オブジェクトの構造的等価性を決定する問題です。それらの間の接続を確立する結果はありますか？ノット問題と統計物理学の結び付きは、ノット多項式を介して検討されていますが、でも同様の結果がありますか$GI$

結び目問題に動機付けられた調べる前に、標準の結果/警告/提案/コメントがあるかどうかを知ることは特に役立ちます。実際、修士論文のためにこの方向で探検することを勧めるかどうか疑問に思っていました。および代数問題に対する量子/古典的アプローチに興味があります。他の提案は大歓迎です。$GI$$GI$

1つの関連性は、グラフ同型と結び目同型がともに3次元同型同型の特殊なケースであるということです。ノットの場合、それらの補数（3空間からノットの点を削除することによって形成される多様体）が同相である場合、2つのノットは同型です。

そして、グラフの場合、多様体が同相である場合にのみグラフが同型になるように、グラフを多様体に変換することができます。昨年12月にGoogle+の投稿でこれについてコメントしましたが、残念ながら共有できる投稿ではありません。構造は、各頂点vの多様体から始まり、度（v）ループのブーケの3球の補数の形で（共通の頂点で一緒に接続されます）。エッジuvごとに、手術でuとvの多様体を接続します、および手術ボールを横切るuからの1つのループとvからの1つのループをリンクします。次に、グラフのすべての同型は、結果の多様体の同相に持ち上がり（花束のない3球で手術を行った場合でもこれは当てはまります）、花束は、多様体がグラフから来ない余分な同型を持つことを防ぎます。

より一般的な質問は、結び目理論とグラフ理論の関係です。開始する可能性のある場所の1つとして、ジョーンズ多項式（ノットの分類に使用）と平面グラフのトゥッテ多項式との接続があります。つまり、結び目理論では、Tutte多項式は交互の結び目のジョーンズ多項式として現れます。（したがって、平面グラフ上のGIに結び目理論の何らかのつながりがあるかもしれません。）

以下のthms 7,8を参照してください。

グラフのTutte多項式と中規模サイズの交互リンクのJones多項式の計算 Sekine、今井、谷

表面上のジョーンズの多項式とグラフオリバー ・T・ダスバッハ、デヴィッド・フューター、エストラティア・カルファジャンニ、シャオソン・リン、ニール・W・ストルツフス