おそらくツリー幅に関連するグラフパラメーター

次のプロセスで生成できる個の頂点のグラフに興味があります。$n$

1. 任意のグラフで始まるにK ≤ Nの頂点。内のすべての頂点ラベルGをとして使用されていません。$G$$k\le n$$G$
2. 新しいグラフ生成新しい頂点追加することにより、V 1つまたは複数に接続され、 未使用の頂点G、及び任意に接続されていない使用済みの頂点Gを。vに未使用のラベルを付けます。$G'$$v$$G$$G$$v$
3. 頂点のラベル1 れるVはとして接続されて使用されます。$G'$$v$
4. をG 'に設定し、Gにn個の頂点が含まれるまで手順2から繰り返します。$G$$G'$$G$$n$

このようなグラフを「複雑さのグラフ」（あいまいな用語の謝罪）と呼びます。たとえば、Gは、複雑さ1のグラフであり、Gはパスです。$k$$G$$G$

このプロセスが以前に研究されたかどうかを知りたいです。具体的には、任意のために、それはグラフが複雑持っているかどうかを決定するために、NP完全であり、kは？$k$$k$

この問題は、かどうかの問題に多少似現れるある部分のk -tree、すなわち持っているツリー幅kは。Gのツリー幅がkであるかどうかを判断することはNP完全であることが知られています。ただし、一部のグラフ（たとえば星）のツリー幅は、ここで説明した複雑さの尺度よりもはるかに小さい場合があります。$G$$k$ $k$$G$$k$

2012年10月4日：1週間後に決定的な回答がなかった後、MathOverflowに質問がクロスポストされました（ただし、因果フローに関する情報に感謝します）。

これについては以前に直接話をしましたが、他の誰かが完全な回答を提供できるように、これを追加します。

頂点を追加あなたのプロセスにおいて、部分関数を定義各頂点からVとき添加した頂点に、使用されますvは慣れ。次に、fは（因果的）フロー関数（p。39）であり、パスカバーの制限バージョンであることがわかります。実際、これらの「複雑度k」のグラフ（最初に未使用の頂点となる最終的な未使用の頂点のセットが与えられた場合）の説明は、正確に因果フロー（p。上記記事の46）。$f:V(G) \rightharpoonup V(G)$$v$$v$$f$

これらの「因果フロー」は主に（測定ベースの）量子計算のコンテキストで研究されていますが、ユニタリ回路の特定の構造に動機付けられていますが、量子計算とは完全に離婚したグラフ理論的な結果があります：

一意モジュロエンドポイント：「複雑性を有するグラフ  」ものれる（おそらく交差）設定が存在し、正確である S 、T ⊆ V （G ）、サイズの両方の Kように、 Gのサイズの正確に一つのパスカバー有する Kパスを Sで始まり Tで終わる。$k$$S,T \subseteq V(G)$$k$$G$$k$$S$$T$

極値グラフ：「複雑度 k」を持つ個の頂点上のグラフは、最大で k n − （ k + $n$$k$エッジ。$kn - \binom{k+1}{2}$

これらの結果を使用し、セット候補ペアを指定すると、この方法で一意のパスカバーを「サブテンド」するかどうかを時間O （k 2 n ）で決定できます。しかし、そのようなエンドポイントのセットが存在するかどうかは明らかな困難であり、上記の極端な結果（これは必要な条件にすぎません）は、そのようなセットが存在するかどうかを判断するための効率的な基準で最先端を表しているようです。$S,T$$O(k^2 n)$

複雑さすべてのグラフのパス幅は最大でkです。すべてのステップで、未使用のノードのセットは、使用済みのノードと作成済みのノードを分離するセパレータです。そのため、すべてのステップで頂点を追加すると、その頂点とすべての未使用の頂点を含むバッグを作成し、パス分解の最後にバッグを接続できます。これは有効なパス分解になります。$k$$k$

ポイント3および2 の「どちらのが接続されているか」により、パス幅はkよりもはるかに小さくなります。Gが複雑度kであるかどうかを判断するかどうかはわかりませんが、Nielが言うように、サイズkのパスカバーが存在する必要がありますが、パスカバーだけでなく、パスを誘導する必要があります。そして、パスの間にこのジグザグパターンを作成できます。我々ができ、F （K ）⋅ P O のL Y （N ）、最短時間経路分解を計算し、我々はこれらの異なるセグメントのトラックに保ちながらダイナミックプログラミングを行うために、この分解を使用することができ$v$$k$$G$$k$$f(k) \cdot poly(n)$$k$パス、それらが属するパス、および同じパスに属するセグメントの順序。そして、異なるパスに属するセグメントのペアごとに、ジグザグの最初と最後のパスを知るだけで済みます。

したがって、私はグラフの複雑持っている場合、我々が決めることができると思うにおけるF （K ）⋅ P O のL Y （N ）時間。$k$$f(k) \cdot poly(n)$