モジュラー分解とクリーク幅

モジュラー分解とクリーク幅グラフに関するいくつかの概念を理解しようとしています。

この論文（「P4-きちんとグラフに」）、モジュール分解を用いてクリーク数または波長数状最適化問題を解決する方法の証拠があります。G1とG2の答えがわかれば、2つのグラフG1、G2を（互いに素な和または素な和集合を使用して）合成してこれらの問題を解決するのは簡単です。P4-tidyグラフの分解に関するプライムグラフは有界グラフ（つまり、C5、P5など）であるため、これらの「ベースケース」については簡単に解決でき、それから合成については簡単に解決できます。したがって、分解ツリーを使用すると、これらの問題を線形時間で解決できます。

しかし、この手法は、グラフの素数が制限されているグラフクラスで機能すると思われます。次に、この論文「有界クリーク幅のグラフ上の線形時間可解最適化問題」を見つけました。これは、私が探していた一般化を行っているようですが、それをよく理解できませんでした。

私の質問は：

1-分解ツリーのプライムグラフは有界（P4-tidy graphsの場合のように）であり、グラフには「クリーク幅」プロパティが有界であると言うのと同等ですか？

2- 1の答えがNOの場合：グラフ素数の境界を持つグラフのクラス（P4-tidyグラフのような）に関する結果が存在するため、これらすべてのクラスの線形時間で解けるクリーク数のような最適化問題？

ここにクリーク幅（略してcwd）の紹介テキストがあります：グラフのクリーク幅の上限（B. CourcelleおよびS. Olariu、DAM 101）。この調査では、より最近の結果を見つけることができます：有界クリーク幅のグラフの最近の開発（M. Kaminski、V。Lozin、M。Milanic、DAM 157（12）：2747-2761（2009））

Cwdは、単語の連結を一般化するグラフ操作に基づく複雑さの尺度です。無限のカウント可能なグラフは、cwdを境界付けることができます。このセットのグラフが最大でkであるような定数kが存在する場合、グラフ（有限または可算）のセット（おそらく無限）がcwdを境界付けていると言います。たとえば、完全なグラフにはcwd 2があり、距離遺伝グラフのcwdは最大3 ...

1）cwdとmodular-dec間のリンクは次のとおりです。cwd（G）= max {cwd（H）| Gのモジュラー12月のHプライム。したがって、cwdは「主なグラフのサイズが制限されている」という事実を一般化していると言えます。無制限のサイズのプライムグラフを持つが、有界のcwdを持つグラフを作成できます。

2）素数グラフのサイズが制限されている場合、cwdは制限されています。あなたが引用した論文の結果は、MSOLで表現可能な問題は、有界cwdのグラフクラスで効率的に解決できると述べています。この一連の問題には、クリープ数、安定数、3色性など、多くのNP完全問題が含まれます。

モジュラーdecのいくつかのアルゴリズムの側面は、「モジュラー分解のアルゴリズムの側面の調査」で研究されています（M. Habib and C. Paul、Computer Science Review 4（1）：41-59（2010））