4サイクルの自由なグラフ

以下のように-cycle問題は次のとおりです。 $k$

インスタンス： Anがグラフ無向有する頂点と最大たエッジを。 $G$ $n$ $n \choose 2$

質問：（適切な）サイクルが存在しますか？ $k$ $G$

背景：任意の固定について、時間でサイクルを $k$ 解くことができます。 $2k$ $O(n^2)$

ラファエル・ユースター、ウリ・ツウィック：サイクルの発見をさらに高速化。SIAM J.
離散数学。10（2）：209-222（1997）

ただし、3サイクル（3クリーク）を行列乗算時間未満で解決できるかどうかは不明です。

私の質問： $G$ に4サイクルが含まれていないと仮定すると、 $O(n^2)$ 時間で3サイクルの問題を解決できますか？

Davidは、 $O(n^{2.111})$ 時間で3サイクル問題のこのバリアントを解決するためのアプローチを提案しました。

— マイケル・ウェハール
ソース

グラフ

G

$G$ の最小サイクルの長さが少なくとも5である場合、最大で

O (n^{\frac{3}{2}})

$O(n^{\frac{3}{2}})$ エッジがあるようです。リンク：link.springer.com/article/10.1007%2FBF01787638

— Michael Wehar

追加情報はこのペーパーで見つけることができます：citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi

— Michael Wehar

アイゼンブランド、フリードリッヒ、ファブリツィオグランドーニにも興味があるかもしれません。「固定パラメータークリークと支配セットの複雑さについて」Theoretical Computer Science 326.1（2004）：57-67。（あなたがまだそれに気づいていない場合）。

— ジュホ

回答:

はい、これは知られています。これは、三角形の検出に関する必須の参照の1つに表示されます...

つまり、ItaiとRodehは、SICOMP 1978で、時間で、最小長サイクルよりも多くても1つのエッジを持つグラフ内のサイクルを見つける方法を示しています。（要約の最初の3つの文はこちらをご覧ください：http : //www.cs.technion.ac.il/~itai/publications/Algorithms/min-circuit.pdf）これは幅優先のプロパティに基づいた簡単な手順です探す。 $O(n^2)$

したがって、グラフに4サイクルがなく、三角形がある場合、5サイクル以上を出力できないため、アルゴリズムはそれを出力する必要があります。

— ライアン・ウィリアムズ
ソース

それは二次ではないが、アロンYusterとズウィック（「検索とカウント所定長サイクル」、Algorithmica 1997）時間で三角形を見つけるためのアルゴリズムを与えるここで、速いための指数であります行列の乗算。4サイクルを含まないグラフの、プラグで及び（他に存在する -cycleに関係なくの存在の -cycles）が得られる時間 $O(m^{2\omega/(\omega+1)})$ $\omega$ $\omega<2.373$ $m=O(n^{3/2})$ $4$ $3$ 。 $O(n^{3\omega/(\omega+1)})=O(n^{2.111})$

— デビッド・エップスタイン
ソース

これは素晴らしい！ほんとうにありがとう。:)

— マイケル・ウェハ

はい、グラフに4サイクルがない場合、最大で

エッジ。リンク：books.google.com/...

O (n^{\frac{3}{2}})

$O(n^{\frac{3}{2}})$

— マイケルWehar

私が間違っている場合は私を修正してください。Erdosの「The Even Circuit Theorem」は、グラフが

サイクルフリーの場合、最大で

2 k

$2k$

エッジ。リンク：sciencedirect.com/science/article/pii/S0012365X99901073

O (n^{1 + \frac{1}{k}})

$O(n^{1+\frac{1}{k}})$

— Michael Wehar

その結果、グラフに6サイクルがない場合、最大で

エッジ。したがって、Davidが提案した方法を使用して、

時間に3サイクルがあるかどうかを判別できます。:)

O (n^{\frac{4}{3}})

$O(n^{\frac{4}{3}})$

O (n^{1.876})

$O(n^{1.876})$

— マイケル・ウェーハー

さらに、固定

場合、

が

サイクルフリーの場合、

はあまり多くのエッジがないため、準二次時間で

3サイクルがあるかどうかを判断できます。ただし、

の場合は、物事が面白くなります。

を打ち負かすことはできますか？

k > 2

$k > 2$

G

$G$

2 k

$2k$

G

$G$

G

$G$

k = 2

$k = 2$

O (n^{2.111})

$O(n^{2.111})$

— マイケル・ウィアー