理論計算機科学

以下のように-cycle問題は次のとおりです。kkk インスタンス： Anがグラフ無向有する頂点と最大たエッジを。GGGnnn(n2)(n2)n \choose 2 質問：（適切な）サイクルが存在しますか？kkkGGG 背景：任意の固定kについて、O（n ^ 2）時間で2kサイクルをkkk解くことができます。2k2k2kO(n2)O(n2)O(n^2) ラファエル・ユースター、ウリ・ツウィック：サイクルの発見をさらに高速化。SIAM J. 離散数学。10（2）：209-222（1997） ただし、3サイクル（3クリーク）を行列乗算時間未満で解決できるかどうかは不明です。 私の質問：GGGに4サイクルが含まれていないと仮定すると、O(n2)O(n2)O(n^2)時間で3サイクルの問題を解決できますか？ Davidは、O(n2.111)O(n2.111)O(n^{2.111})時間で3サイクル問題のこのバリアントを解決するためのアプローチを提案しました。

15 graph-theory  graph-algorithms  clique  polynomial-time  fixed-parameter-tractable 

単純な形式で： 双方向の有限オートマトンが認識できると三角形含ま-vertexグラフO （V 3）の状態を？vvvo(v3)o(v3)o(v^3) 詳細 興味深いのは、ここにエッジのシーケンスを用いて符号化-vertexグラフは、より明確な頂点のペアである各エッジ{ 0 、1 、... 、V - 1 }。vvv{0,1,…,v−1}{0,1,…,v−1}\{0,1,\dots,v-1\} 仮定ように、双方向有限オートマトン（決定論的または非決定論的）の配列であるが、M個のVは認識K上-CliqueをVの -vertex入力グラフと有しS （V ）状態。質問の一般的な形式は次のとおりです。Is （v ）= Ω （v k）？(Mv)(Mv)(M_v)MvMvM_vkkkvvvs(v)s(v)s(v)s(v)=Ω(vk)s(v)=Ω(vk)s(v) = \Omega(v^k) もし及びS （V ）≥ のV K （V ）無限に多くのためのV、その後、NL≠NP。したがって、それほど野心的ではないので、私はkが固定され、k = 3のケースが最初の重要なケースであると規定しています。k=k(v)=ω(1)k=k(v)=ω(1)k = k(v) = \omega(1)s(v)≥vk(v)s(v)≥vk(v)s(v) \ge v^{k(v)}vvvkkkk=3k=3k=3 バックグラウンド 双方向有限オートマトン（2FA）は、ワークスペースを持たないチューリングマシンであり、内部状態の数は固定されていますが、読み取り専用の入力ヘッドを前後に移動できます。対照的に、通常の種類の有限オートマトン（1FA）は、読み取り専用入力ヘッドを一方向にのみ移動します。有限オートマトンは、決定性（DFA）または非決定性（NFA）であり、入力への一方向または双方向のアクセスが可能です。 グラフプロパティは、グラフのサブセットです。レッツQのvが示すVのプロパティで-vertexグラフをQ。すべてのグラフプロパティQについて、可能なすべてのグラフの状態を使用し、Qに従ってラベル付けし、ラベル付けされた状態間の遷移により、言語Q vは最大2 v （v − 1 ）/ 2状態の1DFAで認識できますエッジによって。 したがって、Q …

15 cc.complexity-theory  ds.algorithms  graph-algorithms  clique 

ましょう表す集合{ 1 、。。。、n }およびC（n、k）は、繰り返しのない[ n ]の要素のすべてのk組み合わせのセットを示します。ましょう、P = P 1 P 2。。。Pのkはであるk個の中のタプルC （N 、K ）。順列 π ：[ n ] → [ n[n][n][n]{1,...,n}{1,...,n}\{1,...,n\}kkk[n][n][n]p=p1p2...pkp=p1p2...pkp= p_1p_2...p_kkkkC(n,k)C(n,k)C(n,k)セットの [ N ]ことを回避する P整数のないKタプルが存在しない場合、I 1π:[n]→[n]π:[n]→[n]\pi:[n]\rightarrow [n][n][n][n]pppように π （I 1）= P 1、i1&lt;i2&lt;...&lt;iki1&lt;i2&lt;...&lt;iki_1<i_2<...<i_kπ(i1)=p1,π(i2)=p2,...,π(ik)=pk.π(i1)=p1,π(i2)=p2,...,π(ik)=pk.\pi(i_1) = p_1, \;\;\pi(i_2)=p_2,\;\; ...,\;\;\pi(i_k) = p_k. たとえば、場合、順列12453はサブシーケンスとして134を回避しますが、順列1 2 3 5 4は回避しません。n=5n=5n=51245312453124531341341341235412354\mathbf{1}2\mathbf{3}5\mathbf{4} 質問：みましょう一定です。集合所与S ⊂ C （N 、K ）のK個のタプル、置換見つける …

15 reference-request  co.combinatorics  permutations 

n個のブール変数x_1、...、x_nのセットとm個の関数y_1 ... y_mのセットが与えられ、各y_iがこれらの変数の（与えられた）サブセットのXORであると仮定します。目標は、これらすべてのy_1 ... y_m関数を計算するために実行する必要があるXOR操作の最小数を計算することです。 XOR演算の結果、たとえばx_1 XOR x_2は複数のy_jの計算に使用される可能性がありますが、1つとしてカウントされることに注意してください。また、y_iをより効率的に計算するために、x_iの非常に大きなコレクション（すべてのx_iのXORを計算するなど、y_i関数よりも大きい）のXORを計算すると便利な場合があることに注意してください。 同様に、バイナリ行列AとベクトルXを持ち、目標がAX = YであるベクトルYを計算することであり、ここですべての操作が最小数の操作を使用してGF（2）で実行されると仮定します。 Aの各行が正確にk個（たとえばk = 3）の場合でも興味深いです。この質問の複雑さ（近似の難しさ）を知っている人はいますか？ モハンマド・サラヴァティプール

15 circuit-complexity  approximation-hardness  approximation  matrix-product 

この質問は、以前ここでコンピュータサイエンススタックエクスチェンジに投稿されました。 あなたが全国のクライアントと非常に成功した旅行セールスマンだと想像してください。配送を高速化するために、50キロメートルの有効範囲を持つ使い捨て配送ドローンを開発しました。この革新により、各都市に旅行して商品を配達する代わりに、ヘリコプターを50 km以内に飛ばし、ドローンが仕事を終えるだけで済みます。 問題：移動距離を最小化するには、どのようにヘリコプターを飛ばす必要がありますか？ より正確には、ユークリッド平面内の実数およびN個の異なる点{ p 1、p 2、… 、p N }が与えられた場合、各点について半径Rの閉じた円盤と交差する経路は総弧長を最小にしますか？パスを閉じる必要はなく、任意の順序でディスクと交差できます。R &gt; 0R&gt;0R>0NNN{ p1、p2、… 、pN}{p1、p2、…、pN}\{p_1, p_2, \ldots, p_N\}RRR 明らかに、この問題はとしてTSPに減少するため、効率的な正確なアルゴリズムを見つけることは期待できません。文献でこの問題が何と呼ばれているか、そして効率的な近似アルゴリズムが知られていれば、私は満足するでしょう。R → 0R→0R \to 0

15 ds.algorithms  approximation-algorithms  tsp 

この質問のインスピレーションは、次の（あいまいな）質問です：独自のソースコードについて推論し、それを変更できるAIを持つためのプログラミング言語/論理的基盤は何ですか？ これはまったく厳密ではないので、ここから具体的な質問を抽出するための私の試みです。私が興味を持っているのは次の2つです。 （A）独自のプログラムをデータ型プログラム（たとえば、AST）として表現および操作できるプログラミング言語P。（必要に応じて、タイプProgramのオブジェクトは、その言語の有効なプログラムのテキストであるStringに変換できます。これは、コンパイラーが行うことの反対です。） （B）言語Pのプログラムが何をするかを推論する方法。私が考えている2つのレベルは次のとおりです。 Pプログラムの動作をモデル化する別の言語Q（定理証明機能付き）。「プログラムpの実行結果はfooです」などのステートメントを表現および証明できるはずです。 プログラムp：Programが言語P自体で行うことについて推論する方法。（つまり、上記のP = Qを使用しています。） このようなものはどの程度実装されていますか、またはこの方向の進捗はどうですか？実用的な障害は何ですか？質問の当初の意図に照らして、問題を形式化する最良の方法は何ですか？ * 答えが示すように（ありがとう！）、（A）と（B1）の両方を別々に行うことができますが、それらを一緒に行うことはより研究上の質問のようです。 ここに、この問題に関する私の最初の考えがいくつかあります（警告：かなりあいまいです）。Martin Bergerの答えに対する私のコメントも参照してください。 私は、より単純なプログラミング言語ではなく、同じプログラミング言語をモデル化するプログラミング言語に興味があります（上記のP = Q）。これは、「独自のソースコードに関する理由」が可能なプログラムの「概念実証」になります。依存型のプログラミング言語は、その関数の出力について保証することができますが、これは「Hello world！」以外の「独自のソースコードについての推論」としてはカウントされません。裸の文字列を自動的に出力する言語では、クインとしてカウントされます---ある種の引用/自己参照が必要です。ここでの類似物は、プログラムを表すデータ型を持っています。 それはかなり大きなプロジェクトのようです-言語が単純であるほど、その中のすべてを表現することは難しくなります。言語が複雑になるほど、言語をモデル化するためにより多くの作業が必要になります。 再帰定理の精神では、プログラムは独自のソースコードを「取得」し、それを変更することができます（つまり、それ自体の変更バージョンを出力します）。（B2）それから、プログラムは修正されたプログラムについて保証を表明できるべきであると私たちに伝えます（これは再帰できる、つまり将来のすべての修正について何かを表明できるべきですか？）。

15 pl.programming-languages  ai.artificial-intel  recursion 

ランダム化アルゴリズムがランダムビットを使用すると仮定します。予想される最低のエラー確率（エラーが0の決定論的アルゴリズムに及ばない）は2 - Ω （r ）です。どのランダム化アルゴリズムがこのような最小エラー確率を達成しますか？rrr2−Ω(r)2−Ω(r)2^{-\Omega(r)} 思い浮かぶいくつかの例は次のとおりです。 サンプリングアルゴリズム。たとえば、メンバーシップをチェックできるセットのサイズを推定したい場合。チェックする要素をランダムにランダムにサンプリングする場合、チャーノフ境界は、指数関数的に小さいエラー確率を保証します。 最小スパニングツリーを計算するためのKarger-Klein-Tarjanアルゴリズム。アルゴリズムは確率1/2で各エッジを選択し、サンプル内のMSTを再帰的に見つけます。Chernoffを使用して、2n + 0.1mのエッジがツリーよりも優れている可能性は指数的に低いと主張できます（つまり、ツリーのエッジの1つよりもエッジを優先する）。 他の例を考えていただけますか？ 以下のAndrasの回答に従ってください：実際、すべての多項式時間アルゴリズムは、指数関数的に小さいエラー確率で、より遅い多項式時間アルゴリズムに変換できます。私の焦点は、可能な限り効率的なアルゴリズムにあります。特に、私が挙げた2つの例には、問題を解決する決定論的な多項式時間アルゴリズムがあります。ランダム化アルゴリズムへの関心は、その効率によるものです。

15 randomized-algorithms 

私は集合論、順序理論、無限組み合わせ論、一般的なトポロジーに興味のある数学者です。 これらの科目にコンピューターサイエンスの用途はありますか？私は少し見て、有限グラフ理論、有限トポロジー、低次元トポロジー、幾何学的トポロジーなどの多くのアプリケーションを（もちろん）見つけました。 ただし、これらのサブジェクトの無限オブジェクト、つまり無限ツリー（たとえばアロンザジンツリー）、無限トポロジなどのアプリケーションを探しています。 何か案は？ ありがとうございました！！

15 set-theory  topology  topological-graph-theory 

情報の複雑さは、通信の複雑さにおいて非常に有用なツールであり、主に分散問題の通信の複雑さの下限に使用されます。 クエリの複雑さに対する情報の複雑さの類似物はありますか？クエリの複雑さと通信の複雑さの間には多くの類似点があります。多くの場合（常にではありません！）、あるモデルの下限が他のモデルの下限に変換されます。この翻訳は非常に重要な場合があります。 問題のクエリの複雑さの下限に役立つ情報の複雑さの概念はありますか？ 最初のパスは、情報の複雑さがあまり役に立たないことを示しているようです。たとえば、ORの計算のクエリの複雑さビットがあるランダム化アルゴリズムとするためのの情報の複雑さの概念の最も簡単な適応がことを示しているのに対し、量子アルゴリズムのクエリアルゴリズムによって学習された情報は最大で（入力で最初のが見つかったときにアルゴリズムが停止するため）。NNNΩ （N）Ω（N）\Omega(N)Ω （N−−√）Ω（N）\Omega(\sqrt{N})O （ログN）O（ログ⁡N）O(\log N)111

15 it.information-theory  communication-complexity  query-complexity 

場合、その後、ログ・スペースのアルゴリズムが存在することを解く決定バージョン 2-SATの。L=NLL=NL\mathsf{L = NL} されているするログ・スペースのアルゴリズムが存在することを意味することが知られている満たす割り当て得る入力として充足2-SATのインスタンスが与えられ、？L=NLL=NL\mathsf{L = NL} そうでない場合は、（線形の数の）部分線形空間を使用するアルゴリズムについてはどうでしょうか？

15 sat  search-problem  logspace 

そのため、少し前に、最初に誰かに、call / ccがPeirceの法則を実装することにより、古典的な証明の証明オブジェクトを許可できると言われました。私は最近、このトピックについていくつかのことを考えましたが、問題を見つけることができないようです。しかし、私は本当に他の誰かがそれについて話しているのを見ることができないようです。議論はないようです。何が得られますか？ あなたのような工事がある場合ように私には思えるいくつかの状況では、2つのものの1が真です。あなたは、インスタンスへのアクセス持っているのいずれか⊥何とか場合の制御フローは、ここに到達することはないている現在の状況では、我々は何でもまたは指定されたと仮定しても安全ですF ：¬ （¬ P ）手段F ：（P →を⊥ ）→ ⊥唯一の方法fが返すことができる⊥はのインスタンス構築することであるPをf:¬(¬P)f:¬(¬P)f : \neg(\neg P)⊥⊥\botf:¬(¬P)f:¬(¬P)f : \neg(\neg P)f:(P→⊥)→⊥f:(P→⊥)→⊥f : (P \to \bot) \to \botfff⊥⊥\botPPPそれに2つのそれの引数（のインスタンス適用。そのような場合、Pのインスタンスを構築するいくつかの方法がすでにありました。call / ccがこの構造を引き出すのは理にかなっているようです。ここでの私の推論は、私には幾分疑わしいように思えますが、私の混乱はまだ残っています。call / ccがPのインスタンスを作成するだけではない場合（どうすればよいかわかりません）、問題は何ですか？P→⊥)P→⊥)P \to \bot)PPPPPP call / ccを含まないよく型付けされた用語には通常の形式がありませんか？そのような式に疑わしい他のプロパティがありますか？構成主義者がcall / ccを好まないはずの理由はありますか？

15 lo.logic  type-theory  lambda-calculus  proof-theory  constructive-mathematics 

約1年前、友人と私は、通常のバウンドよりも優れた密度のグラフのクラスカルのアルゴリズムを実装する方法を考えました（事前にソートされたエッジを想定せずに）。具体的には、隣接行列を使用して実装された場合のプリムと同様に、すべての場合でを実現します。O （m ログm ）O（mログ⁡m）O(m \log m)Θ （n2）Θ（n2）\Theta(n^2) C ++コードやベンチマークなど、アルゴリズムについて少しブログに投稿しましたが、一般的な考え方は次のとおりです。 接続されたコンポーネントごとに1つの代表ノードを維持します。最初は、すべてのノードが自分自身を表しています。 dist[i]すべてのコンポーネントについてi、に入射するコンポーネント交差エッジが最も軽いようにベクトルを維持しiます。 パーティションを横切る最も軽いエッジを見つけるとき、線形時間でiの重みを最小にする単純なものを見つけますdist[i]。 接合2つの成分が場合と、隣接行列変更、そのような今ですべてのコンポーネントのためのK、及びマーク接続されたコンポーネントの代表ではなくなったi（jのみが残ります）。c私c私c_icjcjc_jAAAAi,k=min{Ai,k,Aj,k}Ai,k=min{Ai,k,Aj,k}A_{i, k} = \min \{A_{i, k}, A_{j, k}\}kkkiiijjj したがって、最も軽いエッジの収縮と前記エッジの検出の両方を線形時間で行うことができます。これをn−1n−1n - 1回実行して、MSTを見つけます。MSTにどのエッジを追加するかを実際に見つけるには、少しの簿記が必要ですが、複雑さは増しません。したがって、ランタイムはΘ(n2)Θ(n2）\Theta(n^2)です。実装は、forループのほんの一部です。 クラスカルのこのバージョンは文献でよく知られていますか？

15 graph-theory  graph-algorithms 

知る限りでは、高次関数を使用した最初の証拠は、シェーンフィンケルの1924年の論文「数学論理の構築ブロックについて」にまでさかのぼります。 おもしろそうです。しかし、私が彼の仕事について読んでいたすべてのもの（およびカレーの拡張）は、何らかの形で何かを暗示しているようです：[高階関数] ...これはバインドされた変数の必要性を排除します... 私が頭を包み込むことができなかったのは-大したことは何ですか？なぜ当時の論理学者や数学者はこれを気にかけていましたか？そして、理論家として、私たちは今日これを気にしますか？バインドされた変数を取り除くことがなぜ「画期的」であり、私たちが知っているように（理論的に）コンピューティングにどのような影響を与えましたか（またはしますか）？ PS：彼の仕事がどのように -calculusの道を開いたか、そして「it」がコンピューティングと関数型プログラミング全般に与える影響を知っています。私の質問は、主にλ -calculus の作成の「前」とシェーンフィンケルの論文の「後」に向けられています。カリーが独立してそのラインの仕事を選んだという事実は、後に「組み合わせ論理」として知られ、シェーンフィンケルの仕事の重要性を暗示しています。λλ\lambdaλλ\lambda

15 lo.logic  soft-question  ho.history-overview  intuition  function 

以下の問題は、アーロンソンのリスト「量子コンピューティング理論のための10のセミグランドチャレンジ」に現れています。 Is B Q P = B P PB Q N CBQP=BPPBQNC\mathsf{BQP}=\mathsf{BPP}^{\mathsf{BQNC}}言い換えれば、任意の量子アルゴリズムの「量子」部分をp o l y l o g（n）polylog（n）\mathrm{polylog}(n)深さに圧縮できますか？時間古典的な後処理？（これは、Shorのアルゴリズムに当てはまることが知られています。）その場合、汎用量子コンピューターの構築は、一般に信じられているよりもはるかに簡単です！ちなみに、それは与えることは難しいことではありませんオラクル分離の間にB Q PBQP\mathsf{BQP} およびBPPBQNCBPPBQNC\mathsf{BPP}^{\mathsf{BQNC}}ですが、問題はそのようなオラクルを「インスタンス化する」具体的な機能があるかどうかです。 されていJozsaによって推測質問への答えは、量子計算」の「」測定ベースのモデルではイエスであること：地元の測定、適応地元のゲートと効率的な古典後処理が許可されても参照してくださいこの関連の記事を。 質問。このクラス間の現在知られている口頭の分離（または、少なくとも、アーロンソンが言及している神託分離）について知りたいです。

15 cc.complexity-theory  quantum-computing  circuit-complexity  quantum-information  circuit-depth 

FewPは、（入力サイズの）解の数に多項式限界があるNPNPNP問題のクラスです。f e w Pには既知のNPNPNP完全問題はありません。この観察をどこまで拡大できるか興味があります。fewPfewPfewP 解（証人）の数に準多項式の上限がある自然なNPNPNP完全問題はありますか？そのような可能性を排除する広く受け入れられている推測はありますか？ 自然とは、問題が人工的に作成された問題ではなく（または同様の）質問に答える問題ではなく、人々が独立して問題に関心を持っていることを意味します（Kavehが定義）。 編集：報奨金は、このような自然なNPNPNP完全問題またはそのような問題の存在を除外する合理的な議論に授与されます（広く受け入れられている複雑性理論的推測を使用）。 動機：私の直感では、NPNPNP完全性が目撃者の数に超多項式（または指数）の下限を課しているということです。

15 cc.complexity-theory  np