理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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ん
ポリタイムチューリングマシン/ポリサイズ回路の代わりに、対数空間チューリングマシンまたは回路が問題をエンコードするようにを定義するとどうなりますか？P P A DPPAD{\bf PPAD} A C 0AC0{\bf AC^0} 最近、小さな回路の回路充足可能性のアルゴリズムを高速化することが重要であることが判明したため、 PPAD制限されたバージョンはどうなるのだろうか。P P A DPPAD{\bf PPAD}
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数えにくいが決定しやすい多項式
すべての単調な算術回路、つまり{+,×}{+,×}\{+,\times\} -circuitは、非負の整数係数を持ついくつかの多変量多項式F(x1,…,xn)F(x1,…,xn)F(x_1,\ldots,x_n)を計算します。多項式与えられる f(x1,…,xn)f(x1,…,xn)f(x_1,\ldots,x_n)と、回路 計算する fffもしF(a)=f(a)F(a)=f(a)F(a)=f(a)すべてに対して成り立つ∈ N、N。 a∈Nna∈Nna\in \mathbb{N}^n カウント もしFは、（）= F （）すべてに対して成り立つ∈ { 0 、1 } N。 fffF(a)=f(a)F(a)=f(a)F(a)=f(a)a∈{0,1}na∈{0,1}na\in\{0,1\}^n 決定 場合F （）> 0正確F （）> 0がすべて当てはまる ∈ { 0 、1 } N。 fffF(a)>0F(a)>0F(a)>0f(a)>0f(a)>0f(a)>0a∈{0,1}na∈{0,1}na\in\{0,1\}^n 回路サイズのギャップ「計算/カウント」が指数関数的であることを示す明示的な多項式（多重線形であっても）を知っています。私の質問は、ギャップ「カウント/決定」に関するものです。fff 質問1：{ + 、× } -circuitsで決定するより指数関数的に計算が難しい多項式を知っている人はいますか？ fff{+,×}{+,×}\{+,\times\} 可能な候補として、変数が{ 1 、… 、n }上の完全なグラフエッジに対応し、各単項式がK nのノード1からノードnへの単純なパスに対応するPATH多項式を使用できます。この多項式は、たとえばベルマン・フォードの動的計画法アルゴリズムを実装するサイズO （n 3）の回路によって決定でき、{ + 、× }-回路計算がすべてであることを示すのは比較的簡単です。KnKnK_n{1,…,n}{1,…,n}\{1,\ldots,n\}111nnnKnKnK_nO(n3)O(n3)O(n^3){+,×}{+,×}\{+,\times\}PATHは大き持っている必要があります。 2Ω(n)2Ω(n)2^{\Omega(n)} …
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ランダムDFAで単語を分離する
DFAに関する未解決の興味深い問題の1つは、DFAに関する未解決の問題はありますか？は、長さnの 2つのストリングを分離するために必要なDFAのサイズですnn。ランダムなDFAが2つの与えられた（非ランダムな）文字列を分離する能力について何らかの結果があれば興味があります。 明らかに十分に多くの状態を持つランダムDFAは、高い確率で文字列を分離します。具体的には、場合U 、V ∈ Σ nはu,v∈Σnu,v \in \Sigma^n、ランダムDFA O （N ）O(n)O(n)の状態は、それが最初の場所に達すると、これまでと同じ状態を再訪しにくいUuu及びVはvv異なるが、そのため分離Uuu及びVをvv。 もっと良くできますか？理想的には、最小のものであるF （N ） STは、ランダムなDFAを有することをF （N ）長さの状態が分離ストリングN陽性確率（あるいは確率で≥ 1 / 2）？簡単な検索では、ランダムDFAのプロパティに関する多くの結果は得られませんでした。私が見つけたのはhttp://arxiv.org/abs/1311.6830だけでした。f(n)f(n)f(n)f(n)nn≥1/2\ge 1/2
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計算可能性とロジックの不動点
この質問はMath.SEにも投稿されています。 /math/1002540/fixed-points-in-computability-nd-logic ここに投稿しても大丈夫だと思います。そうでない場合、またはCS.SEにとって基本的すぎる場合は、教えてください。削除します。 論理の不動点定理とλの関係をより良く理解したいλλ\lambda計算思います。 バックグラウンド 1）真実の不完全性と定義不能性における不動点の役割 私が理解している限り、論理を内在化するという基本的なアイデアは別として、タルスキーの真実の定義不能性とゲーデルの不完全性定理の両方の鍵は、以下の論理的な固定小数点定理であり、建設的でフィニスティックなメタ理論に住んでいます（定式化を願っています大丈夫、何かが間違っているか不正確な場合は私を修正してください）： ロジック内の不動点の存在 仮定 言語上十分に表現、帰納的可算理論でL、およびlet CがのコーディングさLのに-formulas T、任意の整形旋回アルゴリズムであるL -formulas φとにLの 1つの自由変数で-formulas C（φ ）（V ）、いずれかのようなL -formula φ我々が持っているTを ⊢ ∃ ！v ：C（φ ）（v ）。TT{\mathscr T}LL{\mathcal L}CC{\mathbf C}LL{\mathcal L}TT{\mathscr T}LL{\mathcal L}φφ\varphiLL{\mathcal L}C(φ)(v)C(φ)(v){\mathbf C}(\varphi)(v)LL{\mathcal L}φφ\varphiT⊢∃!v:C(φ)(v)T⊢∃!v:C(φ)(v){\mathscr T}\vdash \exists! v: {\mathbf C}(\varphi)(v) 次いで、アルゴリズムが存在する整形旋回Lの閉鎖整形に一つのフリー変数-formulasをLのいずれかのよう-formulas、Lの 1つの自由変数で-formula φ我々はT ⊢ Y（φ ）⇔ ∃ V ：はC（Y（φ ））（V …
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自然定理は「高い確率で」証明されただけですか？
ランダム化された「証明」が決定論的証明よりもはるかに簡単な状況がたくさんあります。標準的な例は多項式同一性テストです。 質問：ランダム化された証明は知られているが、決定論的な証明は知られていない自然な数学的「定理」はありますか？ 声明の「ランダム化された証拠」とは Iという意味PPP 入力を受け取り、がfalseの場合、少なくとも確率で決定論的証明を生成するランダム化アルゴリズムがあります。n>0n>0n > 0PPP¬P¬P\neg P1−2−n1−2−n1-2^{-n} 誰かが、例えばでアルゴリズムを実行し、定理に反論していません。n=100n=100n = 100 適切な非自然なステートメントを生成するのは簡単です。効率的なランダム化アルゴリズムのみが知られている問題の大きなインスタンスを選択するだけです。しかし、リーマン仮説のような「多くの数値的証拠」を伴う多くの数学的定理がありますが、上記の形式の厳密なランダム化された証拠に関する知識はありません。
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すべての再帰言語は、致命的なチューリングマシンによって認識されていますか？
開始構成ごとに停止した場合、チューリングマシンは致命的であると言います（特に、テープの内容と初期状態は任意です）。すべての再帰言語は、致命的なチューリングマシンによって認識されていますか？（つまり、を受け入れるTMがある場合、を受け入れるmortal TMもあります）MMMMMMLLLLLL
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統一を中断した場合、正確な「量子」コンピューティングはどれほど強力ですか？
短い質問。 非ユニタリー（ただし、まだ反転可能な）ゲートを許可し、確実に正しい答えを出すために出力が必要な場合、「量子」回路の計算能力はどれくらいですか？ この質問は、回路がユニタリゲート以上のものを使用できるようにした場合、クラスEQPEQP\mathsf{EQP}に何が起こるかという意味です。（明確に定義された計算モデルが必要な場合は、可逆ゲートに制限する必要があります。）CC\mathbb C （この問題は、ユニタリーケースでのそのような回路に関する既知の結果についての私の一部の混乱を考慮して、いくつかの改訂を受けました。） 「正確な」量子計算について この質問のために、を、均一な量子回路族によって正確に解くことができる問題のクラスと定義します。入力文字列）各入力サイズ、また、有向ネットワークとしての回路のレイアウトも多項式時間で生成できること。「正確に」解決することで、出力ビットを測定すると、NOインスタンスの場合は確実にが得られ、YESインスタンスの場合は確実に得られます。EQPEQP\mathsf{EQP}1n1n1^nnnn|0⟩|0⟩|0\rangle|1⟩|1⟩|1\rangle 警告： この概念は、ユニタリゲートに制限されていても、量子チューリングマシンを使用したBernsteinおよびVaziraniの記述とは異なります。上記の定義により、ゲートは入力から計算されるため、回路ファミリは原則として無限のゲートセットを持つことができます。もちろん、各回路は有限のサブセットのみを使用します。（量子チューリングマシンは、任意の有限ゲートセットをシミュレートできますが、遷移の数が有限であるため、有限ゲートセットのみをシミュレートできます。）EQPEQP\mathsf{EQP}{Cn}{Cn}\{ C_n \}CnCnC_n この計算モデルは問題を単純化します。ユニタリには問題の解をハードする単一のゲートを含めることができるためです（その係数は結局、計算によって決定されます）。そのため、問題の特定の時間または空間の複雑さは、そのような回路にとって必ずしも興味深いものではありません。PP\mathsf PPP\mathsf P これらの警告に、量子コンピューターの実用的な実装にはとにかくノイズが含まれるという観察結果を追加できます。この計算モデルは、実行可能な計算ではなくユニタリ変換の構成に関係するものとして、また正確なバージョンとして、主に理論的な理由から興味深いものです。特に、上記の警告にもかかわらず、ます。BQPBQP\mathsf{BQP}P⊆EQP⊆BQPP⊆EQP⊆BQP\mathsf{P} \subseteq \mathsf{EQP} \subseteq \mathsf{BQP} 私のやり方でを定義する理由は、DISCRETE-LOGを入れることができるようにするためです。[ Mosca + Zalka 2003 ]により、入力モジュラスに応じてQFTの正確なバージョンを生成することによりDISCRETE-LOGのインスタンスを正確に解決するユニタリ回路を構築する多項式時間アルゴリズムがあります。上記で定義したように、DISCRETE-LOGをに入れることができると信じています。これは、ゲート係数が計算される方法に回路構成の要素を埋め込むことによって行われます。（したがって、結果DISCRETE-LOG基本的に保持されますが、Mosca + Zalkaの構築に依存しています。）EQPEQP\mathsf{EQP}EQPEQP\mathsf{EQP}EQPEQP\mathsf{EQP}∈EQP∈EQP\in \mathsf{EQP} ユニタリティーの中断 してみましょう我々はゲートがユニタリこと、および可逆変換を超える範囲にそれらを許可するという制限を一時停止した場合、我々が得ることを計算クラスです。このクラスを、他の従来の非決定的クラス観点から配置する（または特徴付けする）ことはできますか？EQPGLEQPGL\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}CC\mathbf C 私が尋ねる理由の1つは、が、一様な「非ユニタリー量子」回路ファミリーによって、有界エラーで効率的に解決可能な問題のクラスである場合、YESインスタンスは確率が少なくとも2/3、NOインスタンスで確率が最大1/3（状態ベクトルの正規化後）— [Aaronson 2005]は、。つまり、ユニタリティーを中断することは、この場合、無制限のエラーを許可することと同等です。BQPGLBQPGL\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}}|1⟩|1⟩|1\rangleBQPGL=PPBQPGL=PP\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}} = \mathsf{PP} についても同様の結果、または明確な結果が得られますか？EQPGLEQPGL\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}
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対数深度を持つクリーク幅式
幅wのグラフツリー分解が与えられると、それを「素敵」にするいくつかの方法があります。特に、ツリーがバイナリで、高さがO （log n ）であるツリー分解に変換できることが知られています。これは、分解の幅を最大3 wに保ちながら達成できます。（たとえば、BodlaenderとHagerupによる「有界ツリー幅の最適な高速化を備えた並列アルゴリズム」を参照してください）。したがって、対数深度は、ほとんど無料で取得できるツリー分解のプロパティです。GGGwwwO （ログn ）O（ログ⁡n）O(\log n)3 週間3w3w 私の質問は、クリーク幅に対して同様の結果が存在するか、あるいは反例があるかどうかです。言い換えると、k個のラベルを使用したクリーク幅式が与えられた場合、最大f （k ）ラベルを使用するGの高さO （log n ）のクリーク幅式は常に存在しますか？ここで、高さは自然にクリーク幅式の解析ツリーの高さとして定義されます。GGGkkkO （ログn ）O（ログ⁡n）O(\log n)GGGf（k ）f（k）f(k) 上記のような文が知られていない場合の例がある -vertexグラフG小さなクリーク幅とkは、構築する唯一の方法ようにGを有するF （K ）のラベルが大きいと表現を使用することです深さ？nnnGGGkkkGGGf（k ）f（k）f(k)
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線形システムの実行可能性チェックと最適化の等価性
不等式の線形システムの実行可能性を確認することは、線形計画法と同じくらい難しいことを楕円法によって与えられた縮約を介して示す1つの方法です。さらに簡単な方法は、最適なソリューションを推測し、バイナリ検索を介して制約として導入することです。 これらの削減は両方とも多項式ですが、強力な多項式ではありません（つまり、不等式の係数のビット数に依存します）。 LP最適化からLP実行可能性への強力な多項式簡約はありますか？
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であることが知られていないGI-ハードグラフの問題
グラフ同型（）はN P中間問題の良い候補です。P = N Pでない限り、N Pの中間問題が存在します。Iは天然のために困難であるという問題を探していG Iカープ還元下（Aグラフ問題XようG I &lt; M個のP X）。GIGIGINPNPNPNPNPNPP=NPP=NPP=NPGIGIGIXXXGI&lt;mpXGI&lt;pmXGI <_p^m X 自然があるでもない-hardグラフ問題G Iの換算もあることが知られているN Pの -completeは？GIGIGIGIGIGINPNPNP
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準指数時間での近似
多項式時間でのNP完全問題の近似アルゴリズムと指数時間での正確なアルゴリズムに関する研究があります。フォームの準指数時間でNP完全問題に対する近似アルゴリズムに関する研究がある δ 2 ∈ （0 、1 ）？2nδ22nδ22^{n^{\delta_2}}δ2∈(0,1)δ2∈(0,1)\delta_2\in(0,1) 私は、サブ指数時間の独立数やクリーク数など、多項式時間に近似可能な困難な問題について知られていることに特に興味がありますか？ETHはそのような時間枠での正確な計算のみを禁止していることに注意してください。頂点数グラフでは、独立数はα(G)=2r(n)nα(G)=2r(n)n\alpha(G)=2^{r(n)n}であるとしますいくつかの 0 &lt; r （n ）&lt; s （n ）。である 2 （R|V|=2s(n)n|V|=2s(n)n|V|=2^{s(n)n}0&lt;r(n)&lt;s(n)0&lt;r(n)&lt;s(n)0<r(n)<s(n)時間の独立番号の可能-factor近似スキーム 2 | V | δ 2 = 2つの2 δ 2 S （N ）nは 0&lt; δ 1 &lt;1及び0&lt; δ 2 &lt;1いくつかの固定された正の実数でありますか？2(r(n)n)δ12(r(n)n)δ12^{(r(n)n)^{\delta_1}}2|V|δ2=22δ2s(n)n2|V|δ2=22δ2s(n)n2^{|V|^{\delta_2}}=2^{2^{\delta_2s(n) n}}0&lt;δ1&lt;10&lt;δ1&lt;10<\delta_1<10&lt;δ2&lt;10&lt;δ2&lt;10<\delta_2<1 それは、すべてのためのものであるが存在するδ 2 ∈ （0 、1 ）なるようにα （Gは）内に近似することができる2 ログδ 1 2（α （G …
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非負のパーマネントの滑らかな複雑さ
過去20年間、Permanentで素晴らしい仕事が行われてきましたが、Permanent of Nonnegative MatrixesのSmooth Pアルゴリズムの可能性についてしばらく疑問に思っていました。もちろん有名なJSVアルゴリズムもありますが、これはfprasです。Smoothed Complexity内の他の作業について考えると、Smoothed Pにいることの強力なヒントは、fpras / Psuedopolynomialアルゴリズムの存在でした。 非負のパーマネントがスムースPにあることに対する障害はありますか 前もって感謝します ゼラ
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