線形システムの実行可能性チェックと最適化の等価性

不等式の線形システムの実行可能性を確認することは、線形計画法と同じくらい難しいことを楕円法によって与えられた縮約を介して示す1つの方法です。さらに簡単な方法は、最適なソリューションを推測し、バイナリ検索を介して制約として導入することです。

これらの削減は両方とも多項式ですが、強力な多項式ではありません（つまり、不等式の係数のビット数に依存します）。

LP最適化からLP実行可能性への強力な多項式簡約はありますか？

答えはイエスです。実際、線形不等式の実行可能性の決定問題にまで還元することさえできます！

LPインスタンスP：与えられた場合の入力です $\max c^Tx\ \text{s.t.}\ Ax \leq b\ ;\ x\geq 0$です。

$S=\{Bz \leq d\}$

削減は次のようになりました。

1. 試験もし可能です。そうでない場合は、Pが無効であることを報告できます。$S_1=\{Ax \leq b\ ;\ x \geq 0\}$
2. デュアルプログラムDを形成します：。$\min b^Ty\ \text{s.t.}\ A^Ty \geq c\ ;\ y \geq 0$
3. $S_2=\{Ax \leq b\ ;\ x\geq 0\ ;\ A^Ty\geq c\ ;\ y\geq0 \ ;\ b^Ty \leq c^Tx\}$
4. $S_1$$S_2$$S_2$$S_3$$S_3$
5. $S_3$$x$