対数深度を持つクリーク幅式

幅wのグラフツリー分解が与えられると、それを「素敵」にするいくつかの方法があります。特に、ツリーがバイナリで、高さがO （log n ）であるツリー分解に変換できることが知られています。これは、分解の幅を最大3 wに保ちながら達成できます。（たとえば、BodlaenderとHagerupによる「有界ツリー幅の最適な高速化を備えた並列アルゴリズム」を参照してください）。したがって、対数深度は、ほとんど無料で取得できるツリー分解のプロパティです。$G$$w$$O(\log n)$$3w$

私の質問は、クリーク幅に対して同様の結果が存在するか、あるいは反例があるかどうかです。言い換えると、k個のラベルを使用したクリーク幅式が与えられた場合、最大f （k ）ラベルを使用するGの高さO （log n ）のクリーク幅式は常に存在しますか？ここで、高さは自然にクリーク幅式の解析ツリーの高さとして定義されます。$G$$k$$O(\log n)$$G$$f(k)$

上記のような文が知られていない場合の例がある -vertexグラフG小さなクリーク幅とkは、構築する唯一の方法ようにGを有するF （K ）のラベルが大きいと表現を使用することです深さ？$n$$G$$k$$G$$f(k)$

しばらくして文献で答えを見つけたので、他の人に役立つ場合に備えてここに投稿しています。

実際、クリーク幅の式のバランスを再調整して、対数深度を持たせることができます。結果は、WG '08のCourcelle andKantéによる論文「ランク幅とバランスの取れたグラフ表現を特徴付けるグラフ操作」に示されています。論文から定理4.4を引用します。

$k$$k \times 2^{k+1}$

ここでの問題は、ラベルの数がバランスで指数関数的に爆発することです。クリーク幅については、現在のところより良い結果は知られていないようです。同じ論文でも同様の結果が得られますが、ランク幅は一定に拡大されていますが、クリーク幅とランク幅の差は最悪の場合指数関数になる可能性があるため、これは役に立ちません。