統一を中断した場合、正確な「量子」コンピューティングはどれほど強力ですか？

短い質問。

非ユニタリー（ただし、まだ反転可能な）ゲートを許可し、確実に正しい答えを出すために出力が必要な場合、「量子」回路の計算能力はどれくらいですか？

この質問は、回路がユニタリゲート以上のものを使用できるようにした場合、クラス$\mathsf{EQP}$に何が起こるかという意味です。（明確に定義された計算モデルが必要な場合は、可逆ゲートに制限する必要があります。）$\mathbb C$

（この問題は、ユニタリーケースでのそのような回路に関する既知の結果についての私の一部の混乱を考慮して、いくつかの改訂を受けました。）

「正確な」量子計算について

この質問のために、を、均一な量子回路族によって正確に解くことができる問題のクラスと定義します。入力文字列）各入力サイズ、また、有向ネットワークとしての回路のレイアウトも多項式時間で生成できること。「正確に」解決することで、出力ビットを測定すると、NOインスタンスの場合は確実にが得られ、YESインスタンスの場合は確実に得られます。$\mathsf{EQP}$$1^n$$n$$|0\rangle$$|1\rangle$

警告：

• この概念は、ユニタリゲートに制限されていても、量子チューリングマシンを使用したBernsteinおよびVaziraniの記述とは異なります。上記の定義により、ゲートは入力から計算されるため、回路ファミリは原則として無限のゲートセットを持つことができます。もちろん、各回路は有限のサブセットのみを使用します。（量子チューリングマシンは、任意の有限ゲートセットをシミュレートできますが、遷移の数が有限であるため、有限ゲートセットのみをシミュレートできます。）$\mathsf{EQP}$$\{ C_n \}$$C_n$

• この計算モデルは問題を単純化します。ユニタリには問題の解をハードする単一のゲートを含めることができるためです（その係数は結局、計算によって決定されます）。そのため、問題の特定の時間または空間の複雑さは、そのような回路にとって必ずしも興味深いものではありません。$\mathsf P$$\mathsf P$

これらの警告に、量子コンピューターの実用的な実装にはとにかくノイズが含まれるという観察結果を追加できます。この計算モデルは、実行可能な計算ではなくユニタリ変換の構成に関係するものとして、また正確なバージョンとして、主に理論的な理由から興味深いものです。特に、上記の警告にもかかわらず、ます。$\mathsf{BQP}$$\mathsf{P} \subseteq \mathsf{EQP} \subseteq \mathsf{BQP}$

私のやり方でを定義する理由は、DISCRETE-LOGを入れることができるようにするためです。[  Mosca + Zalka 2003  ]により、入力モジュラスに応じてQFTの正確なバージョンを生成することによりDISCRETE-LOGのインスタンスを正確に解決するユニタリ回路を構築する多項式時間アルゴリズムがあります。上記で定義したように、DISCRETE-LOGをに入れることができると信じています。これは、ゲート係数が計算される方法に回路構成の要素を埋め込むことによって行われます。（したがって、結果DISCRETE-LOG基本的に保持されますが、Mosca + Zalkaの構築に依存しています。）$\mathsf{EQP}$$\mathsf{EQP}$$\mathsf{EQP}$$\in \mathsf{EQP}$

ユニタリティーの中断

してみましょう我々はゲートがユニタリこと、および可逆変換を超える範囲にそれらを許可するという制限を一時停止した場合、我々が得ることを計算クラスです。このクラスを、他の従来の非決定的クラス観点から配置する（または特徴付けする）ことはできますか？$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$$\mathbf C$

私が尋ねる理由の1つは、が、一様な「非ユニタリー量子」回路ファミリーによって、有界エラーで効率的に解決可能な問題のクラスである場合、YESインスタンスは確率が少なくとも2/3、NOインスタンスで確率が最大1/3（状態ベクトルの正規化後）— [Aaronson 2005]は、。つまり、ユニタリティーを中断することは、この場合、無制限のエラーを許可することと同等です。$\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}}$$|1\rangle$$\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}} = \mathsf{PP}$

についても同様の結果、または明確な結果が得られますか？$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$

短い答え。ユニタリ変換の要件を一時停止し、各操作が可逆的であることを要求すると、正確にギャップを定義できるクラスが生成されることがわかります。問題の特定のクラスはと「新しい」サブクラスL P W P Pで、どちらもS P PとC = Pの間にあります。これらのクラスにはかなり技術的な定義があり、以下で簡単に説明します。ただし、これらの定義は、原則として、非ユニタリ「量子のような」アルゴリズムに関する定義に置き換えることができます。$\mathsf{LWPP}$$\mathsf{LPWPP}$$\mathsf{SPP}$$\mathsf{C_=P}$

カウントクラスは、GRAPH ISOMORPHISMが含まれています。また、クラス全体が含まU Pを、我々は正確に期待していないので、単一の量子アルゴリズムは非ユニタリクラスなどの強力のように（私たちはそうでない場合を示すことができたとしてN P ⊆ B Q Pを）。$\mathsf{SPP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{NP \subseteq BQP}$

より長い答え。

• 私の質問では、を再定義して、効率的に計算できるゲートを使用するが、必ずしも有限のゲートセットから引き出されるわけではないゲートを使用する均一な回路ファミリで解決できる問題を考慮に入れることを提案しました。このようにE Q Pを再定義するのは良い考えだとはもはや確信していませんが、そのような回路ファミリは研究する価値があると思います。代わりにこのクラスをU n i t a r y P Cのように呼ぶことができます。$\mathsf{EQP}$ $\mathsf{EQP}$$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$

  あることを示すことが可能である最近まで最もよく行き知られていた、 E Q Pを。クラスL W P Pは多かれ少なかれ、ランダム化アルゴリズムが存在する問題に対応します。NOインスタンスは確率0.5で1の結果を生成し、YESインスタンスは効率的である確率で1の結果を生成します。そして、0.5よりも大きい（ただし指数関数的に近い）合理的な形式で正確に計算されます。L W Pの技術的定義$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C} \subseteq LWPP}$$\mathsf{EQP}$$\mathsf{LWPP}$は非決定的チューリングマシンの観点から提示されますが、それ以上のものではありません。$\mathsf{LWPP}$

  をU n i t a r y P Cの可逆ゲート等価であると定義すると、効率的に計算可能なゲート係数を持つ可逆回路ファミリによって正確に解決できる問題のセットになり、G L P C = L W P P。$\mathsf{GLP}_{\mathbb C}$$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$$\mathsf{GLP_{\mathbb C} = LWPP}$

• 有限ゲートセットに制限する場合、ユニタリ回路ファミリはサブセットでシミュレートできることを示すことができます。これをL P W P Pと呼びます。（の説明を使用してL W P Pを YESインスタンスの1の出力を得る確率が正確であるランダム化アルゴリズムには、この対応し、上方M T （X ） / 2 P （| X |）いくつかの多項式のために、P、いくつかの整数$\mathsf{LWPP}$$\mathsf{LPWPP}$$\mathsf{LWPP}$$m^{t(x)} / 2^{p(|x|)}$$p$$m$、およびいくつかの効率的に計算可能な多項式。）$t$

  我々は定義する場合の可逆ゲート等価であるとE Q P、それが正常に定義されているように、我々は示すことができるE Q P G L ⊆ L P W P P。$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$$\mathsf{EQP}$$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}} \subseteq LPWPP}$

離散ログに関する修正。

上記の結果は、入力に依存しない方法で（ただし、入力サイズに依存する可能性がある）代数係数を表す標準的な手法に依存しています。元の質問の説明では、[ Mosca + Zalka 2003 ]は、DISCRETE LOGが、効率的に計算可能な係数を持つゲートセットによって正確に解けることを示していると主張しました。真実はもっと複雑に見える。正確な可解性に関心がある場合、係数の正確な表現が重要であると考えます。しかし、MoscaとZalkaは入力依存の方法でこれを行う方法を提供しません。したがって、DISCRETE LOGが実際にまたは新しいクラスU n i t a r y Pにあることは明らかではありません$\mathsf{EQP}$。$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$

参照。

• de Beaudrap、正確なカウントと準量子複雑性について[ arXiv：1509.07789 ]。