計算可能性とロジックの不動点

この質問はMath.SEにも投稿されています。

/math/1002540/fixed-points-in-computability-nd-logic

ここに投稿しても大丈夫だと思います。そうでない場合、またはCS.SEにとって基本的すぎる場合は、教えてください。削除します。

論理の不動点定理と関係をより良く理解したい $\lambda$ 計算思います。

バックグラウンド

1）真実の不完全性と定義不能性における不動点の役割

私が理解している限り、論理を内在化するという基本的なアイデアは別として、タルスキーの真実の定義不能性とゲーデルの不完全性定理の両方の鍵は、以下の論理的な固定小数点定理であり、建設的でフィニスティックなメタ理論に住んでいます（定式化を願っています大丈夫、何かが間違っているか不正確な場合は私を修正してください）：

ロジック内の不動点の存在

仮定言語上十分に表現、帰納的可算理論で、およびlet のコーディングさに-formulas 、任意の整形旋回アルゴリズムである -formulas に 1つの自由変数で-formulas 、いずれかのような -formula 我々が持っている。 ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$ ${\mathbf C}$ ${\mathcal L}$ ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$ $\varphi$ ${\mathcal L}$ ${\mathbf C}(\varphi)(v)$ ${\mathcal L}$ $\varphi$ ${\mathscr T}\vdash \exists! v: {\mathbf C}(\varphi)(v)$

次いで、アルゴリズムが存在する整形旋回閉鎖整形に一つのフリー変数-formulasをいずれかのよう-formulas、 1つの自由変数で-formula 我々は解釈し、定義した関数シンボルとして ${\mathbf Y}$ ${\mathcal L}$ ${\mathcal L}$ ${\mathcal L}$ $\phi$
$T ⊢ Y (ϕ) \Leftrightarrow \exists v : C (Y (ϕ)) (v) \land ϕ (v),$ ${\mathscr T}\vdash {\mathbf Y}(\phi)\Leftrightarrow \exists v: {\mathbf C}({\mathbf Y}(\phi))(v)\wedge \phi(v),$ ${\mathbf C}$ $\lceil -\rceil$ 、としてもよりコンパクトに書かれるかもしれない $T ⊢ Y (ϕ) \Leftrightarrow ϕ (⌈ Y (ϕ) ⌉) .$ ${\mathscr T}\vdash {\mathbf Y}(\phi)\Leftrightarrow \phi(\lceil{\mathbf Y}(\phi)\rceil).$
言い換えれば、は、1変数式の等価性に関する不動点の構築のためのアルゴリズムです。 ${\mathbf Y}$ ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$

これには少なくとも2つのアプリケーションがあります。

「は、独自のコーディングでインスタンス化されたときに証明できない文をコーディングする」ことを表す述語適用します。ゲーデルの議論の中心にある「この文は証明不可能」の形式化をもたらします。 $\phi(v)$ $v$
それを適用する任意の文章のために $\neg\phi$ $\phi$ 真実のタルスキーのundefinabilityが得られます。

2）型なし不動点 $\lambda$ -calculusの不動点

型なし計算では、固定小数点の構築は再帰関数の実現に重要です。 $\lambda$

計算における不動点の存在： $\lambda$

あり不動点コンビネータ、すなわちA -term いずれかのような -termの、我々は $\lambda$ $Y$ $\lambda$ $f$
$f (Y f) \sim_{α β} Y f .$ $f(Y f)\sim_{\alpha\beta} Yf.$

観察

どのような私を驚かせたままにすると、不動点コンビネータということであるで $\lambda f.(\lambda x. f(x x))(\lambda x. f(x x))$ $\lambda$ -calculus直接反映し、非常にきれいで、非技術的な方法で、論理的な不動点定理の通常の証明：

非常に大まかに、式所与、一方が形式化考慮ステートメントの" コード自体でインスタンス化するとき、満足の文 "、及びプット。文のようなものです、およびに相当します $\varphi$ $\varphi(v)$ $v$ $\phi$ ${\mathbf A}(\phi) := \varphi(\lceil\varphi\rceil)$ $\varphi(v)$ $\lambda x. f(x x)$ $\varphi(\lceil\varphi\rceil)$ 。 $(\lambda x. f(x x))(\lambda x. f(x x))$

質問

すばやく説明されたアイデアにも関わらず、論理的な不動点定理の証明は非常に技術的であり、すべての詳細を実行することは困難であることがわかりました。クーネンは、例えば、彼の「Set Theory」本の定理14.2でそうしています。一方、 -combinatorにおける -calculusは非常に単純であり、その特性は容易に確認されます。 $Y$ $\lambda$

論理不動点定理は、 -calculusの不動点コンビネータから厳密に従いますか？ $\lambda$

たとえば、公式による論理計算までの計算をモデル化して、固定小数点コンビネーターの解釈が論理固定小数点定理で説明されているアルゴリズムを提供できるようにすることはできますか？ $\lambda$ ${\mathcal L}$

編集

MartinとCodyの回答で説明されている同じ対角化の議論の他の多くの事例を考慮して、質問を言い換えるべきです：

コンビネータで表現された原則に従って、対角化引数の一般的な一般化はありますか？ $Y$
$λ f . (λ x . f (x x)) (λ x . f (x x))$ $\lambda f.(\lambda x. f(xx))(\lambda x.f(xx))$

私がそれを正しく理解している場合、1つの提案はLawvereの不動点定理です。以下を参照してください。しかし残念ながら、Martinが彼の答えで引用した記事のいずれかで関連する専門分野をフォローすることはできません。誰かがそれらを説明できれば幸いです。まず、完全を期すために：

ローヴェアの不動点定理

レッツ有限の製品としてカテゴリも任意の射のためになるようににおけるいくつかありすべてのポイントのためになるように 1が持っているが、 ${\mathscr C}$ $\varphi: A\times A\to Y$ $f: A\to Y$ ${\mathscr C}$ $\lceil f\rceil: 1\to A$ $p: 1\to A$
$1 \overset{p}{\to} A \overset{f}{\to} Y = 1 \overset{p}{\to} A \overset{⟨ ⌈ f ⌉, {id}_{A} ⟩}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y .$ $1\xrightarrow{p} A\xrightarrow{\ f\ } Y\ \ =\ \ 1\xrightarrow{p} A\xrightarrow{\langle \lceil f\rceil,\text{id}_A\rangle} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y.$
次いで、任意の自己準同形のための、パッティング任意選択与えるの固定点まで上昇、すなわち $g: Y\to Y$
$f := A \overset{Δ}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y \overset{g}{\to} Y,$ $f\ :=\ A\xrightarrow{\Delta} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y\xrightarrow{g} Y,$ $\lceil f\rceil$ $g$ $1 \overset{⟨ ⌈ f ⌉, ⌈ f ⌉ ⟩}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y .$ $1\xrightarrow{\langle\lceil f\rceil,\lceil f\rceil\rangle} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y.$

これは、有限積を持つカテゴリーの（直観主義的な）1次理論の記述であり、したがって、後者のモデルに適用されます。

$A$ $Y := \Omega := \{0,1\}$ $\rho: A\times A\to\Omega$ $\in$ $A$ $\rho: A\times A\to \Omega$ $A\to\Omega^A$ ）。さらに、Lawvereの定理の証明の翻訳は、通常の対角引数を与えます。

より具体的な問題：

誰かが部分再帰関数または論理不動点定理へのLawvereの定理の適用を詳細に説明できますか？特に、どのカテゴリを考慮する必要がありますか？

D. Pavlovicでは、パラドックスの構造について、著者は自由に生成したカテゴリーを考慮しています ${\mathbb N}$ ${\text{End}}({\mathbb N})$ partical再帰関数を。

残念ながら、これが何を意味するのか理解できません。

$\text{End}({\mathbb N})$ $A=Y={\mathbb N}$ ${\mathbb N}\to{\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ ${\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ も部分関数にすぎないため、未定義になる可能性があり、不動点定理は簡単です。

本当に検討したいカテゴリは何ですか？

たぶん、目標はロジャーの不動点定理を得ることですが、それから何らかの形で自然数による部分再帰関数のコーディングをカテゴリの定義に組み込む必要があり、これを行う方法はわかりません。

Lawvereの不動点定理が適用されるコンテキストの構築を誰かが説明できれば、論理的不動点定理または部分再帰関数の不動点定理が生じるので、とてもうれしいです。

ありがとうございました！

lo.logic computability lambda-calculus

— 飯能ベッカー
ソース

Q

$Q$

λ

$\lambda$

@EmilJeřábek：コメントありがとうございます！再帰関数のコーディングを回避する方法はないことを理解していますが、コーディングに関係するものとその後の正式なものを明確に分離したいと思います。

— 飯能ベッカー

λ

$\lambda$

Y

$Y$

φ

$\varphi$

N \to (N \to N)

$\mathbb{N}\rightarrow(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})$

(N \to N) \to (N \to N)

$(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})\rightarrow(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})$

Y

$Y$

コーディ、あなたが使用しているカテゴリを正確に詳しく説明してもらえますか？それは私が他のソースをフォローできない点だからです。

— 飯能ベッカー14年

回答:

私はおそらくあなたの質問に直接答えているわけではありませんが、ゲーデルの定理やYコンビネーターを含む多くのパラドキサの一般的な数学的一般化があります。これは最初にLawvereによって調査されたと思います。[2、3]も参照してください。

FW Lawvere、対角引数およびデカルト閉カテゴリー。
D.パブロフ、パラドックスの構造について。
NSヤノフスキー、自己参照パラドックス、不完全性、固定小数点への普遍的なアプローチ。

— マーティン・バーガー
ソース

ありがとう、マーティン、これらは非常に興味深い参考文献です！しかし、論理的な状況から、Lawvereの論理的な固定小数点定理が逐語的に適用されるカテゴリコンテキストを抽出するのに苦労しています。たとえば、ヤノフスキーの記事では、置換操作が

{Lind}^{1} \times {Lind}^{1} \to {Lind}^{0}

$\text{Lind}^1\times\text{Lind}^1\to\text{Lind}^0$ 論理的等価までの用語を考慮する場合、明確に定義されます。これわかりますか？

— 飯能ベッカー14年

@HannoBeckerこれは非常に難しく、コーディングに敏感です。

— マーティンバーガー14年

あなたの質問に対する完全な答えはありませんが、これはあります：

あたりとしてウィキペディア語ります

すべての部分再帰関数について $Q(x, y)$ インデックスが存在します $p$ そのような
$φ_{p} ≃ λ y 。 Q （ p 、 y ）$ $\varphi_p\simeq \lambda y.Q(p, y)$ どこ $\varphi$ 間の全単射である $\mathbb{N}$ および部分再帰関数。

今、この定理は、次の定点定理の結果であることはかなり明らかです。 $\lambda$ -計算。これを使用して、論理固定小数点定理の変形を証明できます。

すべての式について $\phi$ 再論 ${\mathscr T}$ 算術演算を含む、インデックスが存在する $n$ そのような
$T ⊢ ϕ （ \bar{n} ） \Leftrightarrow T ⊢ \exists y 、 φ_{n} （ y ） = 0$ ${\mathscr T}\vdash \phi(\overline{n}) \Leftrightarrow {\mathscr T}\vdash \exists y, \varphi_n(y)=0$

これはあなたが望むものではありませんが、内部化のトリックはあなたに強い声明を与えることができます

${\mathscr T}\vdash \phi(\overline{n})\leftrightarrow \exists y, \varphi_n(y) = 0$

繰り返しますが、これは論理的な固定小数点定理ではありませんが、同じ目的に役立ちます。

証明： 定義 $Q(x,y)$ によって定義される再帰関数になる
$Q （バツ、 y ） = 0 iff T ⊢ ϕ （ \bar{バツ} ）せいぜい y 歩数$ $Q(x,y) = 0 \mbox{ iff }{\mathscr T}\vdash \phi(\overline{x})\mbox{ in at most $y$ steps}$ それは簡単にわかります $Q$ （合計）再帰的です。ご了承ください $\exists y, Q(x, y)$ 事実を表現する」 ${\mathscr T}$ 証明する $\phi(\overline{x})$ 「そして、これは本当だということです。 ${\mathscr T}\vdash\exists y,Q(\overline{x}, y)$ （想定しています $\omega$ -一貫性）。上のKleene Recursion Theoremの簡単なアプリケーション $Q$ 望ましい結論を与えてくれます。 $\square$

少し考えれば、おそらくこの議論を強化して、内在化せずに完全な定理を直接与えることができます。

— コーディ
ソース

ご回答ありがとうございます！私があなたを理解しているかどうかをゆっくり見てみましょう：あなたの最初の声明では、できます

φ : N ≅ C (N, N)

$\varphi:{\mathbb N}\cong\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N})$ 完全にarbitrary意的であるか、少なくとも誘導カリーマップが必要ですか

C （ N^{2} 、 N ） \to 地図 （ N 、 C （ N 、 N ） ） ≅ 地図 （ N 、 N ）

$\text{C}({\mathbb N}^2,{\mathbb N})\to\text{Map}({\mathbb N},\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N}))\cong\text{Map}({\mathbb N},{\mathbb N})$ 部分再帰関数にイメージを持たせる

C (N, N)

$\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N})$ 、および誘導評価

N^{2} \to N

${\mathbb N}^2\to{\mathbb N}$ 、

(n, m) \mapsto φ (n) (m)

$(n,m)\mapsto\varphi(n)(m)$ 計算可能ですか？

— 飯能ベッカー14年

これらの仮定により、私は声明が真実であることを理解しています。ただし、これらのタイプのステートメントの多くと同様に、

Y

$Y$ -combinator in

λ

$\lambda$ -微積分は驚くべきものであり、後者の正式な結果をどのようにするかわかりません。詳しく説明してもらえますか？

— 飯能ベッカー14年

最初の点：あなたは正しい、あなたがしたい

φ

$\varphi$ あなたが説明する意味で「正気」であること。2番目のポイント：

Y

$Y$ コンビネータは本質的に表現します

Y f ≃ f (Y f)

$Y\ f\simeq f(Y\ f)$ 。再帰定理は本質的に同じことを言う：取る

p := Y Q

$p:= Y\ Q$ 。ただし、部分再帰関数の理論により、少し一般性が高くなります。関数のコードは関数自体とは異なります。同等のもの

λ

$\lambda$ -calculusはLispのようにquoteand eval操作を持ちます。この意味で、再帰定理は、

Y

$Y$ コンビネーター。

— コーディ14年