自然定理は「高い確率で」証明されただけですか？

ランダム化された「証明」が決定論的証明よりもはるかに簡単な状況がたくさんあります。標準的な例は多項式同一性テストです。

質問：ランダム化された証明は知られているが、決定論的な証明は知られていない自然な数学的「定理」はありますか？

声明の「ランダム化された証拠」とは Iという意味$P$

1. 入力を受け取り、がfalseの場合、少なくとも確率で決定論的証明を生成するランダム化アルゴリズムがあります。$n > 0$$P$$\neg P$$1-2^{-n}$

2. 誰かが、例えばでアルゴリズムを実行し、定理に反論していません。$n = 100$

適切な非自然なステートメントを生成するのは簡単です。効率的なランダム化アルゴリズムのみが知られている問題の大きなインスタンスを選択するだけです。しかし、リーマン仮説のような「多くの数値的証拠」を伴う多くの数学的定理がありますが、上記の形式の厳密なランダム化された証拠に関する知識はありません。

$\DeclareMathOperator{\inv}{inv} \DeclareMathOperator{\maj}{maj}$ これはあなたが求めているものの例ではありませんが、そのような例がどのように生まれるかを示唆しています。いくつかの組み合わせ恒等式は、有界次数多項式に関する恒等式としてエンコードできます。多項式が単変量の場合、同一性を証明するには、d + 1ポイントで検証すれば十分です。ただし、多項式が多変量であり、次数が少なくとも適度に大きい場合、Scwartz-Zippel補題は、同一性を検証する唯一の実用的な方法である可能性があります。$d$$d+1$

単変量の例については、Znubergerによるこの記事をチェックして、Knuthの質問を解決してください。彼は順列の統計に関する声明を証明します。順列のために、聞かせてINV （π ）数で| { （i 、j ）：i < j 、π （i ）> π （j ）} | 反転のπ、および主要なインデックス聞かせMAJ （π ）のを$\pi \in S_n$$\inv(\pi)$$|\{(i, j): i < j, \pi(i) > \pi(j)\}|$$\pi$$\maj(\pi)$ は集合 { i ：π （i + 1 ）< π （i ）}内のすべての整数の合計です。Zeilbergerは、すべての nについて、2つの統計量の共分散が$\pi$$\{i: \pi(i+1) < \pi(i)\}$$n$

すべての期待が一様にランダム超えている場合にπでSN。Zeilbergerの証明はのためだけのコンピュータ検証であるN∈{1、2、3、4、5}、およびステートメントはの多項式間の同一性と同等であることが観察nは高々度4。