理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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プログラム翻訳の完全な完全性と完全な抽象化
コンパイラー検証の努力は、多くの場合、コンパイラーが完全に抽象的であることを証明することに帰着します。つまり、（コンテキストの）同等性を保持および反映します。 代わり長谷川[により、いくつかの最近（カテゴリベース）コンパイラ検証作業を完全抽象プルーフを提供する1、2 ]とエッガーら。等 [ 3 ]さまざまなCPS翻訳の完全性を証明します。 質問： 完全な完全性と完全な抽象化の違いは何ですか？ 私にとって、完全性は翻訳の等価性の反映のように見え、完全性は等価性の保存の結果であるように見えます。 注：Curien [ 7 ]とAbramsky [ 8 ]はともに、定義可能性、完全な抽象化、およびある程度完全な完全性の間の関係を調査します。これらのリソースには私の質問に対する答えがあるかもしれませんが、表面を読んだ後、私はまだそれを確認していません。 背景：「完全な完全性」という用語は、乗算線形論理のゲームセマンティックモデルの正確さを特徴付けるために、アブラムスキーとジャガディーサン[ 4 ] によって作られました。 Blute [ 5 ]は以下の定義を提供します： してみましょうFF\mathcal{F}無料カテゴリなります。私たちは、カテゴリモデルと言う MM\mathcal{M}あるため、完全に完全に FF\mathcal{F}または我々が持っていること の完全な完成度FF\mathcal{F}に関してMM\mathcal{M}の発電機のいくつかの解釈に関して、場合、ユニークな無料ファンクタ[[−]]:F→M[[−]]:F→M[\![ - ]\!] : \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{M}がいっぱいです。 私の知る限り、[ 6 ]の長谷川は、完全な完全性を適用して、カテゴリーの意味モデルではなくプログラムの翻訳を記述する最初の人物です。この場合、ギラード変換は、単純に型指定されたラムダ計算から線形ラムダ計算になります。後に、[ 1 ]で、彼はCPS翻訳の完全性 definesを次のように定義しています(⋅)∘(⋅)∘(\cdot)^\circ。 もしで誘導線形ラムダ計算は、存在Γ ⊢ Mは：σように計算ラムダ計算におけるΓ ○は。∅ ⊢ M ∘ = N ：（σ …
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位置が制約されたトポロジカルソートの複雑さ
Iは入力DAGとして与えられていの各頂点の頂点さらにいくつかで標識されている。GGGnnnxxxS(x)⊆{1,…,n}S(x)⊆{1,…,n}S(x) \subseteq \{1, \ldots, n\} トポロジカルソート全単射であるの頂点からへようにすべてのため、、からパスがある場合ににおける次に、。すべてのに対してようなトポロジカルなが存在するかどうかを判断したいと思います。GGGfffGGG{1,…,n}{1,…,n}\{1, \ldots, n\}xxxyyyxxxyyyGGGf(x)≤f(y)f(x)≤f(y)f(x) \leq f(y)GGGxxxf(x)∈S(x)f(x)∈S(x)f(x) \in S(x) この決定問題の複雑さは何ですか？ [注：明らかにこれはNPにあります。許可された頂点/位置のペアのグラフを見ると、順序に違反するためにペアリング間の無向エッジが競合しているため、クリークごとに最大1つのペア、最大で1つのペアを選択する、互いに素なクリークのグラフが表示されます位置と頂点ごとに最大1つのペア-それは3次元マッチングに関連しているように見えますが、この特定の問題の追加構造ではまだ難しいかどうかわかりません。]
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有限集合の正規表現のサイズを最小化する
言語の仕様としてDFAを使用している場合でも、正規表現のサイズを最小化することはPSPACE完全であることが知られています。 言語が有限の場合、結果はどうなりますか？ この問題は2つのモデルで検討できます。 入力は言語のすべての文字列であり、すべての文字列の長さの合計によって入力サイズを測定します。 入力はDFAであり、DFAの状態の数によって入力サイズを測定します。 Kleene starは有限の場合には役に立たないため、、式では（連結）が使用されます。もちろん、正規表現の長さは任意です。代わりに、各操作に重みを付け（括弧の追加を含む）、正規表現の重みを最小化するように要求できます。（）（）()|||⋅⋅\cdot 編集： adrianNが指摘したように、それは文法ベースのコードに関連しています。有限集合を記述するために最小長の文脈自由文法を生成することはNP完全です。最小サイズの文脈自由文法が最小サイズの正規表現について多くを暗示している理由は明らかではありません。巧妙な書き換えルールがこれら2つを関連付け、最初のモデルでは問題がNPにあることを証明できます。
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サブセットの和とサブセットの積（NP硬度が強いか弱いか）
サブセット積問題が厳密にNP困難であり、サブセット和問題が弱いNP困難である理由を説明できる人がいるかもしれないと思っていました。 サブセット和は：考えるX={x1,...,xn}X={x1,...,xn}X = \{x_1,...,x_n\}とTTT、サブセットが存在しないX′X′X'ように∑i∈X′xi=T∑i∈X′xi=T\sum_{i\in X'}x_i = T。 サブセット製品は：考えるX={x1,...,xn}X={x1,...,xn}X = \{x_1,...,x_n\}とTTT、サブセットが存在しないX′X′X'よう∏i∈X′xi=T∏i∈X′xi=T\prod_{i\in X'}x_i = T。 私は常に、2つの問題は同等であると考えていました。SSのインスタンスは、べき乗を介してSPのインスタンスに変換でき、対数を介してSPのインスタンスはSSからSSに変換できます。これにより、両者は同じクラスのNPハードに属していると結論付けられました。つまり、両方ともNPハードではありませんでした。 さらに、同じ再発を使用して、非常にわずかな変更（SSの減算をSPの除算に置き換える）を使用して、動的プログラミングを使用して両方の問題を解決できるようです。 それは、私がバーナード・モレットの「計算理論」の第8章を読むまででした（本がない人のために、X3Cを介したサブセット製品の難しさの証拠があります-強いNP困難な問題です）。 削減については理解していますが、以前の結論（2つの問題の等価性）で何が間違っていたかはわかりません。 更新：サブセット積はNP完全に弱いだけです（ターゲット積は指数関数的です）。ゲーリーとジョンソンは1981年にNP完全性のコラムでこれを公開しましたが、それは彼らの本の以前の主張よりも目立たなかったと思います。Ω(n)Ω(n)\Omega (n)
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MALL +無制限の再帰型はチューリング完全ですか？
Yコンビやオメガコンビれていないラムダ計算の再帰コンビを見ると、 これらのコンビネーターはすべて、定義のどこかで変数を複製することになることは明らかです。ωY==(λx.xx)(λx.xx)λf.(λx.f(xx))(λx.f(xx))ω=(λx.xx)(λx.xx)Y=λf.(λx.f(xx))(λx.f(xx)) \begin{array}{lcl} \omega & = & (\lambda x.\,x\;x)\;(\lambda x.\,x\;x)\\ Y & = & \lambda f.\,(\lambda x.\,f\;(x\;x))\; (\lambda x.\,f\;(x\;x)) \\ \end{array} さらに、これらのコンビネーターはすべて、再帰型で拡張すると、単純型付きラムダ計算で型指定可能になりますここで、は再帰型で否定的に発生できます。μα.A(α)μα.A(α)\mu\alpha.\,A(\alpha)αα\alpha ただし、線形ロジックの指数のないフラグメント（つまり、MALL）に完全な（負の発生）再帰型を追加するとどうなりますか？ 次に、収縮を与える指数関数はありません。ようなものを使用して、指数のタイプを エンコードでき しかし、導入ルールを定義する方法はわかりません。定義するには固定小数点コンビネータが必要だからです。そして、指数を定義し、収縮を取得し、固定小数点コンビネーターを取得しようとしました！!A!A!A!A≜μα.I&A&(α⊗α)!A≜μα.I&A&(α⊗α) !A \triangleq \mu\alpha.\;I \;\&\; A \;\&\; (\alpha \otimes \alpha) MALLと無制限の再帰型がまだ正規化されている場合ですか？
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命題の解決は完全な証明システムですか？
この質問は命題論理に関するものであり、「解決」のすべての出現は「命題解決」として読まれるべきです。 この質問は非常に基本的なものですが、しばらくの間私を悩ませてきました。命題の解決は完全であると主張する人もいますが、解決が不完全であると主張する人もいます。解決が不完全であるという意味を理解しています。また、人々はそれが完全であると主張するかもしれませんが、「完全」という言葉は、自然な演orまたはシーケント計算を説明するときに「完全」が使用される方法とは異なります。式がCNFである必要があり、Tseitin変換を介した式の等価CNF式または等化可能CNF式への変換は証明システム内で考慮されないため、修飾子 "refutation complete"でも役に立ちません。 健全性と完全性 構造のある宇宙と式の集合と構造の真理の古典的なタルスキアン概念との間の関係持つ古典的な命題論理の設定を仮定しよう⊨⊨\models。私たちは、書き込み⊨φ⊨φ\models \varphi場合φφ\varphi検討されているすべての構造に真実です。私はまた、システムを前提とします⊢⊢\vdash式から式を導出するために。 システムはある音に関して⊨我々が持っている時はいつでも場合⊢ φを、我々はまた、持っている⊨ φを。システムは⊢で完全に関して⊨我々が持っている時はいつでも場合⊨ φを、我々はまた、持っている⊢ φを。⊢⊢\vdash⊨⊨\models⊢φ⊢φ\vdash \varphi⊨φ⊨φ\models \varphi⊢⊢\vdash⊨⊨\models⊨φ⊨φ\models \varphi⊢φ⊢φ\vdash \varphi 解決規則 リテラルは、原子命題またはその否定です。句は、リテラルの分離です。CNFの式は、句の組み合わせです。解決規則は、 解決ルールは、句の組み合わせた場合と主張句と¬ P ∨ Dが充足され、句C ∨ Dにも充足しなければなりません。C∨pC∨pC \lor p¬p∨D¬p∨D\neg p \lor DC∨DC∨DC \lor D 数式の導入に関する規則がないため、解決規則だけが証明システムとして理解できるかどうかはわかりません。少なくとも句の導入を可能にする仮説ルールが必要だと思います。 解像度の不完全さ 解像度は防音システムであることが知られています。私たちは句の導出できるかどうか、つまり式からFその後、解像度を使用して⊨ FをCCCFFF。解像度もされ、完全な反論我々が持っている場合は意味を ⊨ F⊨F⟹C⊨F⟹C\models F \implies Cその後、解像度を使用して Fから deriveを導出できます。⊨F⟹⊥⊨F⟹⊥\models F \implies \bot⊥⊥\botFFF 定式化を検討する と ψ ：= P …
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外部メモリの指数関数的高速化
バックグラウンド 外部メモリ（DAMモデル）は、実行するI / Oの数（本質的に、キャッシュミスの数）によってアルゴリズムのコストを定義します。これらの実行時間は、一般の用語で与えられる、メモリのサイズ、及びB、一度にメモリに転送することができる単語の数。BとMにそれぞれLとZが使用される場合があります。 MMMBBBLLLZZZBBBMMM 例えば、ソーティングはコストが必要およびナイーブ行列乗算は必要とΘ （nは3 / Bを√Θ(N/BlogM/BN/B)Θ(N/BlogM/B⁡N/B)\Theta(N/B\log_{M/B} N/B)。 Θ(n3/BM−−√)Θ(n3/BM)\Theta(n^3/B\sqrt{M}) このモデルは、またはMの知識を持たない「キャッシュ忘却型アルゴリズム」の分析に使用されます。通常、目標は、キャッシュを無視するアルゴリズムが外部メモリモデルで最適に実行されることです。これは、たとえば、順列問題（Bradal、Faderberg 2003に示されている）のように、常に可能とは限りません。ソートおよび行列乗算の説明を含む、キャッシュを使用しないアルゴリズムの詳細については、Erik Demaineによるこの記事を参照してください。BBBMMM を変更すると、ソートの対数高速化と行列乗算の多項式高速化が発生することがわかります。（この結果は1981年のKung Hongからのものであり、実際にはキャッシュの忘却と外部メモリモデルの形式化の両方に先立っています）。MMM 私の質問はこれです： スピードアップが指数関数的になる場合はありますか？実行時間はf （N 、B ）/ 2 O （M ）のようなものになります。この説明に適合するキャッシュを意識しないアルゴリズムまたはデータ構造に特に興味がありますが、キャッシュを認識するアルゴリズム/データ構造、または最もよく知られている下限にも満足しています。MMMf(N,B)/2O(M)f(N,B)/2O(M)f(N,B)/2^{O(M)} 一般に、ほとんどのモデルでは、Nが入力サイズであり、明らかにM > wである場合、ワードサイズと想定されます。次に、2 Mの高速化により、Nの多項式高速化が行われます。これは、私が探している問題が存在する場合、それは多項式ではないと信じさせます。（そうでない場合は、キャッシュサイズを定数で変更して、一定数のI / Oを取得できますが、これはありそうにないことです）。w=Ω(logN)w=Ω(log⁡N)w = \Omega(\log N)NNNM>wM>wM > w2M2M2^MNNN
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依存型を持つシステム内の型が居住していないことを示す方法（つまり、式が証明できない）
Hindley-Milner型システムのような依存型のないシステムの場合、型は直観主義論理の式に対応します。そこでは、そのモデルがヘイティング代数であることがわかります。特に、式を反証するために、各式がオープンサブセットで表される1つのヘイティング代数に制限できます。RR\mathbb{R} たとえば、私たちはその表示したい場合生息していない、我々はマッピング構築φのオープンサブセットへの式からRを定義することによって： φ （α ）∀ α 。α ∨ （α → ⊥は）∀α。α∨（α→⊥）\forall\alpha.\alpha\lor(\alpha\rightarrow\bot)ϕϕ\phiRR\mathbb{R} その後 ϕ （α → ⊥ ）ϕ （α ）= （− ∞ 、0 ）ϕ（α）=（−∞、0）\begin{align} \phi(\alpha) &= (-\infty, 0) \end{align} これは、元の式が証明できないことを示しています。なぜなら、それは真実ではないモデルを持っているからです。ϕ （α → ⊥ ）φ （α ∨ （α → ⊥は））= int（[ 0 、∞ ））= （0 、∞ ）= （− ∞ 、0 ）∪ （0 …
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メンバーシップクエリを使用した正確な学習の組み合わせ特性
編集：私は一週間で応答/コメントを受け取っていないので、私は問題について何か聞いて満足していることを追加したいと思います。私はその地域で働いていないので、たとえそれが単純な観察であっても、私はそれを知らないかもしれません。「私はその地域で働いていますが、このような特徴は見ていません」というようなコメントさえあれば役立つでしょう！ バックグラウンド： 学習理論には、よく学習された学習モデルがいくつかあります（たとえば、PAC学習、オンライン学習、メンバーシップ/等価クエリを使用した正確な学習）。 たとえば、PAC学習では、概念クラスのサンプルの複雑さは、クラスのVCディメンションの観点からすてきな組み合わせ特性を備えています。したがって、一定の精度と信頼度でクラスを学習したい場合は、サンプルで行うことができます。ここで、dはVC次元です。（時間の複雑さではなく、サンプルの複雑さについて話していることに注意してください。）精度と信頼性に関して、より洗練された特性もあります。同様に、オンライン学習のミスバウンドモデルには、優れた組み合わせ特性があります。Θ(d)Θ(d)\Theta(d)ddd 質問： メンバーシップクエリを使用した正確な学習のモデルで同様の結果が知られているかどうかを知りたい。モデルは次のように定義されます：入力f （x ）を与えるブラックボックスにアクセスできます。fがいくつかのコンセプトクラスCに由来することはわかっています。できるだけ少ないクエリでfを決定します。xxxf(x)f(x)f(x)fffCCCfff メンバーシップクエリを使用した正確な学習のモデルで概念を学習するために必要なクエリの数を特徴付ける概念クラス組み合わせパラメータはありますか？CCC 私が知っていること： 私が見つけたそのような最高の特性評価は、本稿のServedioとGortlerによるもので、Bshouty、Cleve、Gavaldà、Kannan、Tamonに帰属するパラメーターを使用しています。彼らは、と呼ばれる、コンビナトリアルパラメータ定義、Cは、以下の性質を持つ概念クラスですが、。（このモデルでCを学習するために必要なクエリの最適数をQ Cとします。）γCγC\gamma^CCCCQCQCQ_CCCC QC=Ω(1/γC)QC=Ω(log|C|)QC=O(log|C|/γC)QC=Ω(1/γC)QC=Ω(log⁡|C|)QC=O(log⁡|C|/γC)Q_C = \Omega(1/\gamma^C)\qquad Q_C = \Omega(\log |C|) \qquad Q_C = O(\log |C|/\gamma^C) この特性評価はほぼ厳密です。ただし、上限と下限の間に2次ギャップが生じる可能性があります。たとえば場合は場合、下限はΩ （k ）ですが、上限はO （k 2）です。（このギャップは達成可能だと思います。つまり、下限は両方ともΩ （k ）ですが、上限はO （k 2）である概念クラスが存在します。）1/γC=log|C|=k1/γC=log⁡|C|=k1/\gamma^C = \log |C| = kΩ(k)Ω(k)\Omega(k)O(k2)O(k2)O(k^2)Ω(k)Ω(k)\Omega(k)O(k2)O(k2)O(k^2)
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poset上の単調な述語を学習するために必要な最悪の数の質問
検討(X,≤)(X,≤)(X, \leq)上の有限poset nnnアイテム、およびPPP上未知単調述語XXX（いずれかのために、すなわち、xxx、y∈Xy∈Xy \in Xあれば、P(x)P(x)P(x)及びx≤yx≤yx \leq y次いでP(y)P(y)P(y)）。私は評価できるPPP一つのノードを提供することにより、x∈Xx∈Xx \in Xと場合見つけ出すP(x)P(x)P(x)成立するかではありません。私の目標は、ノードxのセットを正確に決定することですx∈Xx∈Xx \in Xように、P(x)P(x)P(x)のいくつかの評価として使用して、保持PPPできるだけ。（以前のすべてのクエリの回答に応じてクエリを選択できます。すべてのクエリを事前に計画する必要はありません。） SSS(X,≤)(X,≤)(X, \leq)PPPPPPr(S,P)r(S,P)r(S, P)SSSPPPPPPSSSwr(S)=maxPr(S,P)wr(S)=maxPr(S,P)wr(S) = \max_P r(S, P)S′S′S'wr(S′)=minSwr(S)wr(S′)=minSwr(S)wr(S') = \min_S wr(S) 私の質問は次のとおりです：入力としてポゼットを指定すると、最適な戦略の最悪の実行時間をどのように決定できますか？(X,≤)(X,≤)(X, \leq) [空のposetのクエリが必要であり（各単一ノードについて尋ねる必要がある）、クエリの全体の順序が必要であることは明らかです（バイナリ検索を実行して検索しますフロンティア）。より一般的な結果は、次の情報理論的な下限です。述語可能な選択肢の数は、の反の数です単調な述語との最大要素として解釈されるアンチチェーン）。したがって、各クエリは1ビットの情報を提供するため、少なくともが必要になります。nnn⌈log2n⌉⌈log2⁡n⌉\lceil \log_2 n \rceilPPPNXNXN_X(X,≤)(X,≤)(X, \leq)PPP⌈log2NX⌉⌈log2⁡NX⌉\lceil \log_2 N_X \rceil前の2つのケースを含むクエリ。これは厳しく制限されているのでしょうか、それとも学習はアンチチェーンの数よりも漸近的に多くのクエリを必要とするような構造のポーズですか？]
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に関して
確率論的証明システムは一般にM Aの制限と呼ばれ、アーサーはf （n ）ランダムビットのみを使用し、g （n ）ビットのみを検査できますMerlinから送信された証明証明書（http://en.wikipedia.org/wiki/Interactive_proof_system#PCPを参照）。PCP[f(n),g(n)]PCP[f(n),g(n)]\mathcal{PCP}[f(n),g(n)]MAMA\mathcal{MA}f(n)f(n)f(n)g(n)g(n)g(n) しかし、1990年に、Babai、Fortnow、およびLundは、であるため、厳密には制限ではないことを証明しました。パラメータ（何であるF （N ）、G （N ）の場合）P C P [ F （N ）、G （Nは）PCP[poly(n),poly(n)]=NEXPPCP[poly(n),poly(n)]=NEXP\mathcal{PCP}[poly(n), poly(n)] = \mathcal{NEXP}f(n),g(n)f(n),g(n)f(n),g(n)？PCP[f(n),g(n)]=MAPCP[f(n),g(n)]=MA\mathcal{PCP}[f(n), g(n)] = \mathcal{MA}
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無限グラフでは、それらなしでは証明できないことを証明できますか？
これは、無限グラフに関するこれへのフォローアップの質問です。 その質問に対する回答とコメントは、無限グラフによって自然にモデル化されるオブジェクトと状況をリストします。しかし、無限グラフについても多数の定理があり（Diestelの本の第8章を参照）、たとえば、ケーニッヒの無限補題は非常に有名です。 今、私は次の質問を持っています：無限グラフで何が証明できますか？より具体的には、何かを無限グラフとしてモデル化し、無限グラフに関する定理を呼び出して、最終的に元の問題について何かを証明した例は何ですか？
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線形時間インプレースリフルシャッフルアルゴリズム
線形時間インプレースリフルシャッフルアルゴリズムはありますか？これは、いくつかの特に器用な手が実行できるアルゴリズムです。偶数サイズの入力配列を均等に分割してから、2つの半分の要素をインターリーブします。 Mathworldには、リフルシャッフルに関する簡単なページがあります。特に、入力配列1 2 3 4 5 6を1 4 2 5 3 6に変換するout-shuffleに興味があります。定義では、入力長はことに注意してください2n2n2n。 サイズnnn以上の便利な2番目の配列がある場合、線形時間でこれを実行するのは簡単です。最初に最後のnnn要素を配列にコピーします。次いで、0ベースのインデックスを仮定すると、最初のコピーnnnインデックスから要素を[0,1,2,...,n−1][0,1,2,...,n−1][0,1,2,...,n-1]に[0,2,4,...,2n−2][0,2,4,...,2n−2][0, 2, 4,...,2n-2]。次に、nをコピーしますnnn入力配列、マッピングインデックスに二番目の配列の後ろからの要素[0,1,2,...,n−1][0,1,2,...,n−1][0,1,2,...,n-1]に[1,3,5,...,2n−1][1,3,5,...,2n−1][1,3,5,...,2n-1]。（入力の最初と最後の要素が移動しないため、それよりもわずかに少ない作業を行うことができます。） これをインプレースで実行しようとする1つの方法は、順列をばらばらのサイクルに分解し、各サイクルに従って要素を再配置することです。繰り返しますが、0ベースのインデックス付けを想定すると、6要素の場合に含まれる順列は σ=(001224314355)=(0)(5)(1243).σ=(012345024135)=(0)(5)(1243). \sigma=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 2 & 4 & 1 & 3 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 & 4 &3 …
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次の問題NPは難しいですか？
基本セットのセットコレクションを考えてみましょう。および、および正の整数とする。F = { F 1、F 2、… 、F n } F={F1,F2,…,Fn}F=\{F_1,F_2,\dotsc,F_n\}U = { e 1、e 2、… 、e n } U={e1,e2,…,en}U=\{e_1,e_2,\dotsc,e_n\}| F i | N E I ∈ F I K|Fi||F_i| ≪≪\ll nnei∈Fie_i \in F_ikk 目標は、各が最大で互いに素な集合の和集合として記述できるように、上の集合別のコレクションを見つけることです。でとも私たちが望む最小限に抑えます（つまり、すべてのセットの要素の集合数はできるだけ小さくする必要があります）。C = { C 1、C 2、... 、CのM } C={C1,C2,…,Cm}C=\{C_1,C_2,\dotsc,C_m\}U UUF IFiF_i K kk （K < < | …
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