タグ付けされた質問 「proof-theory」

理論における証明の分析に関する質問


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カレーハワードと非建設的な証明からのプログラム
これは次の質問です 証明とプログラムの違い(または命題と型の違い)は何ですか? の形式の非構成的(古典的)証明に対応するプログラムは何ですか?(は興味深い決定可能な関係であると仮定します。たとえば、 -th TMはステップで停止しません。)∀k T(e,k)∨¬∀k T(e,k)∀k T(e,k)∨¬∀k T(e,k)\forall k \ T(e,k) \lor \lnot \forall k \ T(e,k)TTTeeekkk (ps:この質問を投稿している理由の1つは、彼のコメントで「Godel-Gentzenの翻訳は継続渡しの変換です」というNeelの意味をもっと知りたいからです。)

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大きな可算序数表記の帰納型。
私は「自然な方法」で大きな可算序数の表記法を構築しようとしています。「自然な方法」とは、帰納的データ型Xが与えられると、その平等は通常の再帰的平等(deriving EqHaskellで生成されるものと同じ)であり、順序は通常の再帰的辞書編集順(deriving OrdHaskellで生成されるものと同じ))、およびXのメンバーが有効な序数表記であるかどうかを決定する決定可能な述語があります。 例えば、以下εより序0は、遺伝的有限ソートリストを満たすこれらの要件で表すことができます。Xをμαに定義します。μβ。1 +α×β、別名遺伝的に有限のリスト。isValidXがソートされ、Xのすべてのメンバーがであることを確認するように定義しますisValid。Xの有効なメンバーが少ないεよりも、すべての序数です0通常の辞書式順序の下で。 私はそのμα推測0を。...μα nと。1 +α 0 ×...×α N φ未満序を定義するために使用することができ、N + 1と同様の方法で、φは、ヴェブレン関数である(0)、。 ご覧のとおり、φω(0)でμ量指定子が不足しています。要件を満たすより大きな序数表記を作成できますか?私はΓ限り取得することを期待していた0。有効性述語の決定可能性要件を削除した場合、より大きな序数を取得できますか?

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型命題はありますか?(タイプとは正確には何ですか?)
私は型システムなどについて多くのことを読んでおり、それらが導入された理由をおおまかに理解しています(ラッセルのパラドックスを解決するため)。また、プログラミング言語と証明システムにおけるそれらの実用的な関連性を大まかに理解しています。ただし、型が何であるかという私の直感的な概念が正しいとは完全には確信していません。 私の質問は、型が命題であると主張することは有効ですか? 言い換えると、「nは自然数」というステートメントは「nは型「自然数」を持っている」というステートメントに対応します。つまり、自然数を含むすべての代数規則がnに当てはまります。(言い換えると、代数ルールはステートメントです。自然数に当てはまるステートメントはnにも当てはまります。) 次に、これは数学的なオブジェクトが複数のタイプを持つことができることを意味しますか? さらに、すべてのセットのセットを持つことはできないため、セットはタイプと同等ではないことを知っています。私があれば、と主張でしセットはに類似した数学的対象である数や機能、タイプがメタ数学的なオブジェクトの一種であり、同じロジックで種類は、メタ-メタ-数学的対象でありますか?(すべての「メタ」がより高いレベルの抽象化を示すという意味で...) これにはカテゴリー理論への何らかのリンクがありますか?

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Piタイプのfunsplitと極性
Agdaメーリングリストの最近のスレッドで、法則の問題が浮かび上がり、そこでPeter Hancockが示唆に富む発言をしました。ηη\eta 私の理解では、法則には負のタイプがあります。導入規則が可逆的である接続詞。関数のを無効にするために、ハンクは、通常のアプリケーションルールの代わりに、カスタムメイドのエリミネーターfunsplitを使用することをお勧めします。極性の観点からハンクの発言を理解したいと思います。ηη\etaηη\eta たとえば、 -typesという2つのプレゼンテーションがあります。ポジティブなスタイルの伝統的なMartin-Löf スプリットエリミネーターがあります。ΣΣ\Sigma Γ⊢f:(a:A)(b:Ba)→C(a,b)Γ⊢p:Σa:A.BΓ⊢splitfp:CpΓ⊢f:(a:A)(b:Ba)→C(a,b)Γ⊢p:Σa:A.BΓ⊢splitfp:Cp \begin{array}{l} \Gamma \vdash f : (a : A)(b : B\: a) \to C (a , b) \\ \Gamma \vdash p : \Sigma a : A. B \\ \hline \\ \Gamma \vdash \mathrm{split}\: f\: p : C\: p \end{array} そして、ネガティブバージョンがあります: Γ⊢p:Σa:A.BΓ⊢π0p:AΓ⊢p:Σa:A.BΓ⊢π1p:B[π0p/a]Γ⊢p:Σa:A.BΓ⊢π0p:AΓ⊢p:Σa:A.BΓ⊢π1p:B[π0p/a] \begin{array}{l} \Gamma \vdash …

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超有限順序の帰納法によりシステムFの弱い正規化を証明できますか
単純型付きラムダ計算の弱い正規化は、帰納法により証明(チューリング)できます。自然数に再帰子をもつ拡張ラムダ計算(Gentzen)には、帰納法による弱い正規化戦略があります。ε 0ω2ω2\omega^2ϵ0ϵ0\epsilon_0 System F(またはそれより弱い)はどうですか?このスタイルには弱い正規化の証拠がありますか?そうでない場合、それはまったく可能ですか?

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TarskianMöglichkeitに関する論文や記事を探しています
いくつかの背景:Łukasiewicz多くの多値論理は様相論理として意図され、Łukasiewiczが与えられた伸長様相演算子の定義を: (彼はタルスキーに属性)。◊ A =de f¬ A → A◊A=def¬A→A\Diamond A =_{def} \neg A \to A これは、いくつかの逆説的で、奇妙な様相論理を与える一見不合理ではない定理であれば、特に。代替¬ AのためにBそれは様相論理の歴史の中で脚注に追いやられている理由を確認します。(◊ A ∧ ◊ B )→ ◊ (A ∧ B )(◊A∧◊B)→◊(A∧B)(\Diamond A\land \Diamond B) \to \Diamond (A\land B)¬ A¬A\neg ABBB ただし、可能性演算子の定義が線形論理およびその他の部分構造論理に適用されると、それほど不合理ではないことに気付きました。これについては今月初めに非公式の話をしています。講演へのリンクはhttp://www.cs.st-andrews.ac.uk/~rr/pubs/lablunch-20110308.pdfにあります (サブ構造のモーダルロジックについて尋ねた理由の1つは、これらのロジックの表現力をこの演算子の使用と比較することでした。) とにかく、私が言及している非重要な作品は、A。Turquetteによる「Australasian Association for Logic 1997 Annual Conferenceでの「Tarski'sMöglichkeitの一般化」」の講演だけです。要約は、BSL 4(4)にある http://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/0404/0404-006.ps基本的Turquetteはでアプリケーション提案用-valued論理M -stateシステム。(この講演のメモ、スライド、その他のコンテンツを入手することができなかったので、詳しい情報をお持ちの方からのご意見をお待ちしています。)mmmmmm これに関する他の記事や論文を知っている人はいますか? (私はそれのためのアプリケーションを持っていませんが、私はその特性が論文に値するのに十分面白いと思います。)


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構成主義者がなぜcall / ccを気にしすぎないのか
そのため、少し前に、最初に誰かに、call / ccがPeirceの法則を実装することにより、古典的な証明の証明オブジェクトを許可できると言われました。私は最近、このトピックについていくつかのことを考えましたが、問題を見つけることができないようです。しかし、私は本当に他の誰かがそれについて話しているのを見ることができないようです。議論はないようです。何が得られますか? あなたのような工事がある場合ように私には思えるいくつかの状況では、2つのものの1が真です。あなたは、インスタンスへのアクセス持っているのいずれか⊥何とか場合の制御フローは、ここに到達することはないている現在の状況では、我々は何でもまたは指定されたと仮定しても安全ですF :¬ (¬ P )手段F :(P →を⊥ )→ ⊥唯一の方法fが返すことができる⊥はのインスタンス構築することであるPをf:¬(¬P)f:¬(¬P)f : \neg(\neg P)⊥⊥\botf:¬(¬P)f:¬(¬P)f : \neg(\neg P)f:(P→⊥)→⊥f:(P→⊥)→⊥f : (P \to \bot) \to \botfff⊥⊥\botPPPそれに2つのそれの引数(のインスタンス適用。そのような場合、Pのインスタンスを構築するいくつかの方法がすでにありました。call / ccがこの構造を引き出すのは理にかなっているようです。ここでの私の推論は、私には幾分疑わしいように思えますが、私の混乱はまだ残っています。call / ccがPのインスタンスを作成するだけではない場合(どうすればよいかわかりません)、問題は何ですか?P→⊥)P→⊥)P \to \bot)PPPPPP call / ccを含まないよく型付けされた用語には通常の形式がありませんか?そのような式に疑わしい他のプロパティがありますか?構成主義者がcall / ccを好まないはずの理由はありますか?

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命題の解決は完全な証明システムですか?
この質問は命題論理に関するものであり、「解決」のすべての出現は「命題解決」として読まれるべきです。 この質問は非常に基本的なものですが、しばらくの間私を悩ませてきました。命題の解決は完全であると主張する人もいますが、解決が不完全であると主張する人もいます。解決が不完全であるという意味を理解しています。また、人々はそれが完全であると主張するかもしれませんが、「完全」という言葉は、自然な演orまたはシーケント計算を説明するときに「完全」が使用される方法とは異なります。式がCNFである必要があり、Tseitin変換を介した式の等価CNF式または等化可能CNF式への変換は証明システム内で考慮されないため、修飾子 "refutation complete"でも役に立ちません。 健全性と完全性 構造のある宇宙と式の集合と構造の真理の古典的なタルスキアン概念との間の関係持つ古典的な命題論理の設定を仮定しよう⊨⊨\models。私たちは、書き込み⊨φ⊨φ\models \varphi場合φφ\varphi検討されているすべての構造に真実です。私はまた、システムを前提とします⊢⊢\vdash式から式を導出するために。 システムはある音に関して⊨我々が持っている時はいつでも場合⊢ φを、我々はまた、持っている⊨ φを。システムは⊢で完全に関して⊨我々が持っている時はいつでも場合⊨ φを、我々はまた、持っている⊢ φを。⊢⊢\vdash⊨⊨\models⊢φ⊢φ\vdash \varphi⊨φ⊨φ\models \varphi⊢⊢\vdash⊨⊨\models⊨φ⊨φ\models \varphi⊢φ⊢φ\vdash \varphi 解決規則 リテラルは、原子命題またはその否定です。句は、リテラルの分離です。CNFの式は、句の組み合わせです。解決規則は、 解決ルールは、句の組み合わせた場合と主張句と¬ P ∨ Dが充足され、句C ∨ Dにも充足しなければなりません。C∨pC∨pC \lor p¬p∨D¬p∨D\neg p \lor DC∨DC∨DC \lor D 数式の導入に関する規則がないため、解決規則だけが証明システムとして理解できるかどうかはわかりません。少なくとも句の導入を可能にする仮説ルールが必要だと思います。 解像度の不完全さ 解像度は防音システムであることが知られています。私たちは句の導出できるかどうか、つまり式からFその後、解像度を使用して⊨ FをCCCFFF。解像度もされ、完全な反論我々が持っている場合は意味を ⊨ F⊨F⟹C⊨F⟹C\models F \implies Cその後、解像度を使用して Fから deriveを導出できます。⊨F⟹⊥⊨F⟹⊥\models F \implies \bot⊥⊥\botFFF 定式化を検討する と ψ := P …

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型付けされていないλ計算で最も内側の縮小は永続的ですか?
(私はすでにMathOverflowでこれを尋ねましたが、そこには答えがありませんでした。) バックグラウンド 型なしラムダ計算では、この用語は一つ(例えば、乱暴に異なる結果を生成することが低減するかについて多くのredexes、異なる選択肢を含んでいてもよいここで1ステップ(β-)はyまたはそれ自体に減少します)。削減する場所の異なる(一連の)選択は、削減戦略と呼ばれます。用語Tがあると言われている正規もたらす削減戦略が存在する場合、Tは(λ X 。Y)((λ X 。X X )λ X 。X 、X )(λバツ。y)((λバツ。バツバツ)λバツ。バツバツ)(\lambda x.y)((\lambda x.xx)\lambda x.xx)ββ\betayyytttttt通常の形に。すべての縮小戦略がtを標準形に持ってくる場合、用語は強く正規化されていると言われます。(私はどちらを心配していませんが、合流性は複数の可能性があることを保証します。)tttttt 縮小戦略は、tが正規形を持っている場合はいつでも、それが最終的なものになる場合、正規化すると言われています(ある意味では可能な限り最良です)。最左端の戦略は正規化です。ttt スペクトルのもう一方の端では、項tから無限のリダクションシーケンスが存在する場合は常に、ストラテジがそのようなシーケンスを見つける場合、リダクションストラテジは永続的である(ある意味では最悪の可能性がある)と言われます。正規化に失敗する可能性があります。ttt 私は永久削減戦略を知っているとFのBのkはによってそれぞれ与えられる: F B K(C [ (λ X 。S )T ] )= Cを[ S [ T / X ] ] 場合 tは 強く正規化されFのBのK(C [ (λ X 。S )T ] )= C [F∞F∞F_\inftyFb kFbkF_{bk} …

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PAといくつかの型理論の相対的な一貫性
型理論については、一貫性により、人が住んでいない型を持っていることを意味します。ラムダキューブの強い正規化から、システムとシステムが一貫していることがます。MLTT +帰納的タイプにも正規化の証明があります。ただし、これらはすべてPAのモデルを構築するのに十分強力である必要があり、これはPAがこれらの理論から一貫していることを証明します。システムは非常に強力であるため、教会の数字を使用してモデルを構築することにより、PAの一貫性を証明できると期待しています。MLTT + ITには自然数誘導型があり、一貫性も証明する必要があります。F ω FFFFFωFωF_\omegaFFF これはすべて、これらの理論の正規化証明がPAに内在化できないことを意味します。そう: システム、システム、およびMLTT + ITは実際にPAの一貫性を証明できますか?F ωFFFFωFωF_\omega 可能であれば、システム、、およびMLTT + ITの正規化を証明するには、どのメタ理論が必要ですか?F ωFFFFωFωF_\omega 一般に型理論の証明理論、または特にこれらの型理論のいくつかに良い参照がありますか?

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以下のための主題削減のBarendregtの証明
Barendregtのサブジェクト削減の証明に問題を発見しました(型のあるラムダ計算の Thm 4.2.5 )。 証明の最後のステップ(60ページ)では、次のように述べています。 「したがって、補題4.1.19(1)によって、 「。Γ,x:ρ⊢P:σ′Γ,x:ρ⊢P:σ′\quad\Gamma,x:\rho\vdash P:\sigma' しかし、補題4.1.19(1)によれば、それがあるべきである置換全体のコンテキストになるので、のみならず、X :ρ '。Γ[α⃗ :=τ⃗ ],x:ρ⊢P:σ′Γ[α→:=τ→],x:ρ⊢P:σ′\Gamma[\vec{\alpha}:=\vec{\tau}],x:\rho\vdash P:\sigma'x:ρ′x:ρ′x:\rho' 私は、標準溶液は何とかことを証明することであってもよいと思いますが、私は方法がわからないです。α⃗ ∉FV(Γ)α→∉FV(Γ)\vec{\alpha}\notin FV(\Gamma) 抽象化の生成補題を緩和することでそれを簡素化する証明がありましたが、最近、間違いがあり、私の証明が間違っていることがわかりました。そのため、この問題を解決する方法がわかりません。 誰か、ここで何が欠けているのか教えてください。


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条件付きロジックに基づくプログラミング言語への参照
条件付きロジックは、他の条件の概念に対応するモーダル演算子で従来の論理的含意を強化するロジックです(たとえば、因果条件付き「 cause "B」を読み取ります。または確率的条件付け「」、「 given」を読み取ります)。A A | B A BA□→BA◻→BA\; \square\!\!\!\!\to BAAAA|BA|BA|BAAABBB 通常、これらのロジックはモデル理論的に研究されますが、プログラミング言語の設計(命令型アクションの入力など)への応用について疑問に思いました。 証明理論(シーケント計算/自然演de)、またはこれらの種類のモーダル演算子に基づいた型を持つプログラミング言語への参照に感謝します。 ありがとう! 編集:スタンフォード哲学百科事典には、このテーマに関する素晴らしい紹介があります。

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