タグ付けされた質問 「linear-logic」

この質問に対する答えで、Stephane Gimenezは、線形論理の証明のための多項式時間正規化アルゴリズムを指摘しました。Girardの論文の証明では証明ネットを使用していますが、これは実際にはあまり知らない線形論理の側面です。 さて、私は以前に証明ネットに関する論文（Pierre-Louis Curienのメモなど）を読んだことがありますが、実際には理解していません。だから私の質問は次のとおりです。私はそれらについてどう考えるべきですか？「それらについて考える方法」とは、それらの背後にある非公式の直観（例えば、それらが計算的にどのように振る舞うか、またはそれらがシークエントとどのように関係するか）と、それらについての定理の両方を意味します。 この質問に答えるには、（1）線形論理の証明理論をよく知っています（カットエリミネーションの証明がどのように行われ、焦点を絞った形であるかなど）、（2）コヒーレンス空間に関するカテゴリのセマンティクスまたはデイコンボリューション、および（3）GoI構築の非常に基本的な初歩。

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おそらく、PLでの線形型の最も一般的な用途は、それらを使用してエイリアスを制御する言語を提供することです（つまり、線形値には多かれ少なかれ単一のポインターがあります）。 しかし、この使用法と線形論理の典型的な表示モデルとの間にはわずかな不一致があります。IIRC、ベントンは、デカルト閉カテゴリが強力な可換モナドを持っている場合、代数のカテゴリは対称モノイダル閉（つまり線形論理のモデル）になることを示しました。しかし、状態モナドは可換ではないため、この定理はエイリアス制御の使用には適用されません。そして確かに、過去数年でシンプソンと彼の同僚は、線形論理の項計算ではない一般的な強いモナドの計算を与えました。 だから私の質問は、状態を持つ線形言語の表示的意味論とは何ですか？割り当て、読み取り、および線形更新をモデル化できる非縮退（つまり、テンソルがデカルト積ではない）対称モニダル閉カテゴリはありますか？

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自動定理の証明と証明探索は、縮約のない線形およびその他の命題の部分構造論理で簡単ですか？ これらの論理で証明される自動定理と、証明探索における縮約の役割について、どこでもっと読むことができますか？

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いくつかの背景：Łukasiewicz多くの多値論理は様相論理として意図され、Łukasiewiczが与えられた伸長様相演算子の定義を： （彼はタルスキーに属性）。◊ A =de f¬ A → A◊A=def¬A→A\Diamond A =_{def} \neg A \to A これは、いくつかの逆説的で、奇妙な様相論理を与える一見不合理ではない定理であれば、特に。代替¬ AのためにBそれは様相論理の歴史の中で脚注に追いやられている理由を確認します。（◊ A ∧ ◊ B ）→ ◊ （A ∧ B ）（◊A∧◊B）→◊（A∧B）(\Diamond A\land \Diamond B) \to \Diamond (A\land B)¬ A¬A\neg ABBB ただし、可能性演算子の定義が線形論理およびその他の部分構造論理に適用されると、それほど不合理ではないことに気付きました。これについては今月初めに非公式の話をしています。講演へのリンクはhttp://www.cs.st-andrews.ac.uk/~rr/pubs/lablunch-20110308.pdfにあります （サブ構造のモーダルロジックについて尋ねた理由の1つは、これらのロジックの表現力をこの演算子の使用と比較することでした。） とにかく、私が言及している非重要な作品は、A。Turquetteによる「Australasian Association for Logic 1997 Annual Conferenceでの「Tarski'sMöglichkeitの一般化」」の講演だけです。要約は、BSL 4（4）にある http://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/0404/0404-006.ps基本的Turquetteはでアプリケーション提案用-valued論理M -stateシステム。（この講演のメモ、スライド、その他のコンテンツを入手することができなかったので、詳しい情報をお持ちの方からのご意見をお待ちしています。）mmmmmm これに関する他の記事や論文を知っている人はいますか？ （私はそれのためのアプリケーションを持っていませんが、私はその特性が論文に値するのに十分面白いと思います。）

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線形型をサポートするプログラミング言語を扱っていると仮定します（線形型の用語は、多くても1回しか使用できません）。これにより、いくつかの計算効果（突然変異、オペランドの型の変更など）を、言語にとって問題のある方法で処理できます。言語の型システムは「永遠の真理」のみで動作します。 多くのデータ構造は帰納的タイプで特徴付けることができます（リストとツリーは標準的な例です）。線形誘導型をミックスに追加すると、可変データ構造も処理できます。 ただし、線形型のプログラミング言語で共有および循環参照を示すデータ構造をどのように表現するかは明確ではありません（そのようなデータ構造の例は、隣接リストまたはその他の循環リストで表されるDAGおよび他のグラフです）。できますか？それが不可能な場合、そのようなデータ構造に対応するために、どのように言語を拡張する必要がありますか？ 私がこれまでに見つけた最も複雑な例は、二重にリンクされたリストです。他の例はありますか？

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Yコンビやオメガコンビれていないラムダ計算の再帰コンビを見ると、 これらのコンビネーターはすべて、定義のどこかで変数を複製することになることは明らかです。ωY==(λx.xx)(λx.xx)λf.(λx.f(xx))(λx.f(xx))ω=(λx.xx)(λx.xx)Y=λf.(λx.f(xx))(λx.f(xx)) \begin{array}{lcl} \omega & = & (\lambda x.\,x\;x)\;(\lambda x.\,x\;x)\\ Y & = & \lambda f.\,(\lambda x.\,f\;(x\;x))\; (\lambda x.\,f\;(x\;x)) \\ \end{array} さらに、これらのコンビネーターはすべて、再帰型で拡張すると、単純型付きラムダ計算で型指定可能になりますここで、は再帰型で否定的に発生できます。μα.A(α)μα.A(α)\mu\alpha.\,A(\alpha)αα\alpha ただし、線形ロジックの指数のないフラグメント（つまり、MALL）に完全な（負の発生）再帰型を追加するとどうなりますか？ 次に、収縮を与える指数関数はありません。ようなものを使用して、指数のタイプを エンコードでき しかし、導入ルールを定義する方法はわかりません。定義するには固定小数点コンビネータが必要だからです。そして、指数を定義し、収縮を取得し、固定小数点コンビネーターを取得しようとしました！!A!A!A!A≜μα.I&A&(α⊗α)!A≜μα.I&A&(α⊗α) !A \triangleq \mu\alpha.\;I \;\&\; A \;\&\; (\alpha \otimes \alpha) MALLと無制限の再帰型がまだ正規化されている場合ですか？

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線形論理はコヒーレント空間を使用して解釈され、Girardの論文で際立っています。私はそれらを正式に定義する3つの主要な方法をすべて知っており、それらは実際に使用して問題を証明する問題を引き起こしませんが、それらの意味を理解することはできません。 それらを理解する何らかの方法があるように感じます。まず第一に、ブールに関する関数を使用する例がいくつかあります（どこかのwikiのように）。そして、それは正式な定義の背後にある興味深い何か意味があることを示唆しています。ただし、bool非常に単純なコヒーレント空間であり、サイズのクリークはありません> 1。誰かが詳しく説明できますか？ Girardは、コヒーレント空間のすべてのポイントが特定の「質問/回答のシーケンス」を表し、「否定的に（つまり、異なる質問で）分岐する場合は2つのポイントが一貫し、異なる回答で分岐する場合は一貫性がない」と述べています[1]。アイデアを把握するのは簡単に思えますが、例を作成することはできないので、実際には理解できません... 誰かがそれを手伝ってくれますか？ [1] JY Girard、透明の幻。URL：http : //iml.univ-mrs.fr/~girard/longo1.pdf

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私は線形型システムをよりよく理解するために線形論理を理解しようとしています。しかし、私はルールを読んだとき、私は様相論理で行われてきたようにその背後に直感を取得に失敗- 意味Aが必要とされるクリプキフレームのようにAは、すべての到達可能な世界のために必要とされる[ ◊ Aがあり、Aが可能です mutatis変革]。しかし、私が対応する（もしあれば）併用/論理和のペアのいずれかの直感的な二重性について説明しているが見つからない∧と∨。□A◻A\Box AAAAAAA◊A◊A\Diamond AAAA∧∧\land∨∨\lor

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\newcommand{\symp}{\Bumpeq} ≎X≎X\symp_XXXX(X,≎X)(X,≎X)(X, \symp_X)f:X→Yf:X→Yf : X \to Yf⊆X×Yf⊆X×Yf \subseteq X \times Y(x,y)∈f(x,y)∈f(x,y) \in f(x′,y′)∈f(x′,y′)∈f(x',y') \in f もしその後、、およびx≎Xx′x≎Xx′x \symp_X x'y≎Yy′y≎Yy′y \symp_Y y' もし及び次いで。x≎Xx′x≎Xx′x \symp_X x'y=y′y=y′y = y'x=x′x=x′x = x' コヒーレンス空間のカテゴリは、デカルトおよびモノイドの両方が閉じています。このカテゴリにプルバックまたはプッシュアウトが存在する場合、およびプルバックまたはプッシュアウトのモノイダル類似物が存在する場合（およびこの概念が理にかなっている場合の定義方法）を知りたいです。

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ような関数についての自由パラメトリック性定理を証明することができますか？[A]⊸[A]f:∀A.[A]⊸[A]f:∀A.[A]⊸[A]f : \forall A . [A] ⊸ [A]？fffはリストを取り、常にその順列を返すと述べることになっています。 別の例：その関数fを証明する：\ forall A。（A⊸（A、A））⊸[A]⊸[A]f:∀A.(A⊸(A,A))⊸[A]⊸[A]f:∀A.(A⊸(A,A))⊸[A]⊸[A]f : \forall A . (A ⊸ (A, A)) ⊸ [A] ⊸ [A]は、常に1つの要素がコピーされた順列リストを返します。

9 linear-logic  parametricity 

Mellièsの調査Categorical Semantics of Linear Logicでは、次のケースを含む直観的な線形論理のカット除去手順が示されています。 3.9.3昇格と縮小 証明 証明に変換さ π 1π1⋮！Γ ⊢ A！Γ ⊢ ！あ 昇進π2⋮Υ1、！A 、! A 、Υ2⊢ BΥ1、！A 、Υ2⊢ B 収縮Υ1、！Γ 、Υ2⊢ B 切るπ1⋮！Γ⊢あ！Γ⊢！あ 昇進π2⋮Υ1、！あ、！あ、Υ2⊢BΥ1、！あ、Υ2⊢B 収縮Υ1、！Γ、Υ2⊢B 切る \displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi_1\\\vdots}{!\Gamma \vdash A}}{!\Gamma \vdash !A} \text{ Promotion} \qquad \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi_2\\\vdots}{\Upsilon_1 , !A , !A , \Upsilon_2 \vdash B}}{\Upsilon_1 , !A , \Upsilon_2 …

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問題は、リソースへのアクセスの2つのモードを線形論理でモデル化できるかどうかです。リソースの2つのモードが可能であることを知っています。 !r⊢!r⊢!r \vdash rは無制限に使用できます rは1回だけ使用できます r⊢r⊢r \vdash \quad しかし、rが無限にあるのか、一度しか利用できないのかを判断したくない場合はどうすればよいでしょうか。そして、クエリ、すなわちアクセスは、決定する必要があるので、 ∗r⊢r∗r⊢r*r \vdash r \quad \quad \quad \quad \quad \quad rのみがチェックされます（以前と同様に！r） rが消費されます（単独でrのように） ∗r⊢consume(r)∗r⊢consume(r)*r \vdash consume(r) 線形論理で消費（r）と通常のrアクセス​​をモデル化できますか？同様に、リソースの* r形式をアサートするproduce（r）演算子が必要です。

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