なぜこのカット解消手続きが終了するのですか？

Mellièsの調査Categorical Semantics of Linear Logicでは、次のケースを含む直観的な線形論理のカット除去手順が示されています。

3.9.3昇格と縮小
証明証明に変換さ $\frac{\frac{\frac{π_{1} ⋮}{！ Γ ⊢ あ}}{！ Γ ⊢ ！あ} 昇進 \frac{\frac{π_{2} ⋮}{Υ_{1} 、！あ、！あ、 Υ_{2} ⊢ B}}{Υ_{1} 、！あ、 Υ_{2} ⊢ B} 収縮}{Υ_{1} 、！ Γ 、 Υ_{2} ⊢ B} 切る$ $\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi_1\\\vdots}{!\Gamma \vdash A}}{!\Gamma \vdash !A} \text{ Promotion} \qquad \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi_2\\\vdots}{\Upsilon_1 , !A , !A , \Upsilon_2 \vdash B}}{\Upsilon_1 , !A , \Upsilon_2 \vdash B} \text{ Contraction} }{ \Upsilon_1 , !\Gamma , \Upsilon_2 \vdash B } \text{ Cut}$ $\frac{\frac{\frac{π_{1} ⋮}{！ Γ ⊢ あ}}{！ Γ ⊢ ！あ} 昇進 \frac{\frac{\frac{π_{1} ⋮}{！ Γ ⊢ あ}}{！ Γ ⊢ ！あ} 昇進 \frac{π_{2} ⋮}{Υ_{1} 、！あ、！あ、 Υ_{2} ⊢ B}}{Υ_{1} 、！あ、！ Γ 、 Υ_{2} ⊢ B} 切る}{\frac{Υ_{1} 、！ Γ 、！ Γ 、 Υ_{2} ⊢ B}{Υ_{1} 、！ Γ 、 Υ_{2} ⊢ B} 一連の収縮と交換} 切る$ $\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi_1\\\vdots}{!\Gamma \vdash A}}{!\Gamma \vdash !A} \text{ Promotion} \qquad \displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi_1\\\vdots}{!\Gamma \vdash A}}{!\Gamma \vdash !A} \text{ Promotion} \qquad \displaystyle\frac{\pi_2\\\vdots}{\Upsilon_1 , !A , !A , \Upsilon_2 \vdash B} }{ \Upsilon_1 , !A , !\Gamma , \Upsilon_2 \vdash B } \text{ Cut} }{ \displaystyle\frac{\Upsilon_1 , !\Gamma , !\Gamma , \Upsilon_2 \vdash B}{\Upsilon_1 , !\Gamma , \Upsilon_2 \vdash B} \rlap{\;\text{ Series of Contractions and Exchanges}} } \text{ Cut}$

なぜこれが有効な帰納的ステップなのですか？カット式のサイズも派生のサイズも減少していません。（変換された証明では、上部のカットを誘導的に除去した後、下部のカットの右側の分岐が潜在的に大きくなります。）したがって、この手順を終了する必要がある理由は明らかではありません。

linear-logic

— セバスチャン・ザニー
ソース

ちょっと見ただけで、私はそのような形式論を読んでいないので、これは長い時間ですが、ここでの目標は、プロモーション対収縮後のカットを削除することだという印象を受けました。この場合、すべての収縮がカットの下にあるので変換が機能するため、カットは派生ツリーで上昇し、帰納的に除去されます。

— 2017年

問題は、変換された証明で、上部カットを誘導的に除去した後、下部カットの右分岐が潜在的に大きくなることです。（これを明確化に追加します。）

— Sebastien Zany 2017年

はい。ただし、縮小の数は1つ減っています。私が知る限り（ここでも、詳細にはあまり触れませんでした）、他の変換によって収縮の数が増加することはありません。したがって、値（＃contraction、whatever_you_need_for_the_rest）を見ると、この値は常に辞書順で減少しているため、ある時点で終了します。

— 2017年

ホルフとニールが言ったことに加えて、通常の（度、ランク）引数のバリエーションは機能しませんか？つまり、このステップと通常のLJの収縮の削減の排除との違いは何ですか？（つまり、ゲンツェンの直観的なシーケンシャル計算を意味します）

— Damiano Mazza

しかし、どのようにカットBを排除しますか？Promotion-Cutの場合にできることは、2つのカットAとBの位置を入れ替えることだけです。しかし、まったく同じ状況になります。B（現在は上）を排除すると、収縮の数をAよりも大きくすることができます。

— JérômeFortier '19

コメントとして書いた内容を拡張します。証明には非常に多くのケースがあるため、私はこの変換が終了する理由についてのみ説明します。短い答えは：

プロモーション対収縮の場合、変換後、カットを含むプルーフの部分の収縮数が1つ減少しました。

もう少し詳しく説明すると、確実に終了するためにカットの数またはプルーフのサイズを小さくする必要があると考えていたので、あなたは間違っていたと思います。ただし、終了は証明の他のパラメーターを見ることで証明できます。

終了を証明したい場合は、各ルールが有限回数適用されることを示すだけで済みます。変換ルールの昇格と縮約が最大でm回適用されることを証明できます。ここで、mは初期証明の縮約の数です。これを証明するには、証明ツリーに新しい縮約を導入するルールがないことを確認する必要があります。そして、これは収縮の数を1つ減らします。他のルール「promotion vs sthg」に対してこのトリックを実行して、このルールが有限回数のみ適用されることを証明できます。

— ホルフ
ソース