線形論理で証明する自動定理

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自動定理の証明と証明探索は、縮約のない線形およびその他の命題の部分構造論理で簡単ですか？

これらの論理で証明される自動定理と、証明探索における縮約の役割について、どこでもっと読むことができますか？

— 匿名
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その他のリソースは、Kaustuv Chaudhuriの論文「線形論理の集中逆法」で参照できます。また、Roy Dyckhoffの「収縮のないシーケント計算」に興味があるかもしれません。

線形論理での効率的な証明検索の機会はありますが、現在の研究では、非構造的論理での証明検索よりも簡単であることを示しているとは思いません。問題は、あなたが証明したい場合ということです線形論理では、あなたは、通常の証明検索ではありませんという余分な疑問を持っている：ある証明するために使用かである証明するために使用しました？実際には、この「リソースの非決定性」は、線形論理で証明検索を実行する際の大きな問題です。 $C \vdash(A \otimes B)$ $C$ $A$ $C$ $B$

コメントによると、リンカーン他の1990年の「命題線形論理の決定問題」は、「より簡単」などの言葉について技術的になりたい場合に適した参考資料です。

— ロブ・シモンズ
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LLでの証明探索はILより難しくありませんか？ISTR、古典的命題論理はNP完全であり、直観的命題論理はPSPACE完全であり、直観的線形論理（

! A

$!A$ ）は決定不能です。

— ニールクリシュナスワミ

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@Neel：指数関数は収縮を潜入させる装置です。また、加法結合子は内部的に収縮があるかのように動作するため、これらも必要ありません。残っているのはMLLです。これは実際にNP完全です（古典的な論理とは異なり、あなたが言ったようにNP完全ではなく、coNP完全です）。特に、すべてのMLLトートロジーには多項式サイズの証明があります。（私たちはNPがない準指数時間になりたいと、良い事である。）しかし、この証拠はロブが説明するように、決定論的に見つけることは容易ではありません

— エミールJeřábekはモニカサポート

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線形論理が「簡単ではない」理由について私が非常に非公式に話していたことを、あなたは両方とも指摘します。yaが言及する結果のすべてではないにしても、ほとんどは1990年の論文「命題線形論理の決定問題」のリンカーンらによるものです。

— ロブ・シモンズ

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@Emil-MLLと古典的なロジックの興味深い違いを理解したことはありませんでした。それの証人が小さくなければならないので、MLLはNPである...しかし、古典的な命題シークエント証明は多項式サイズである必要はない（と私は、一般的には、することはできません推測サイズまで）。古典的なシーケンシャルプルーフオブない多項式の証人は何ですか？

c u t

$\it cut$

A

$A$

— ロブ・シモンズ

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@Rob Simmons：その否定に対する満足のいく割り当て。

— カヴェー

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いいえ、それはかつてないほど困難です。

直観的命題論理の決定問題が古典的命題論理よりも難しいのと同様に、線形命題論理もさらに難しい。指数関数（収縮を欠かない）またはさまざまなフレーバーの非可換結合子のいずれかを使用すると、ロジックは決定不能になり、弱体化した従来のMALLでさえPSPACEが完全になります。対照的に、古典的な命題論理の決定問題はco-NP完全であり、直観的な命題論理の場合PSPACEは完全です。（ちなみに、直観主義的なMALLの複雑さはわかりません。）

私は彼の線形論理のセクション6 、SIGACT News 1992でパットリンカーンの博覧会をお勧めします。それ以来、私たちはもう少し多くを学びました。

決定論の難しさが計算のより興味深い概念のためのスペースを作るので、これはある意味で線形論理の証明探索を興味深いものにし、線形論理は非常に多くの異なる方法で困難です。Andrejは、Dale MillerのAn Overview of Linear Logic Programmingを指摘しました。Millerは、他の人と同じように計算として証明検索のアイデアを開発するために多くのことを行ってきたので、これは調べるのに適した場所です。

— チャールズ・スチュワート
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@Kaveh：タイプミスではなく、誤記憶。修繕。MLLに言及する必要があります。

— チャールズ・スチュワート

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証明可能性の問題の複雑さがあなたを満足させると仮定すると、縮約のある場合とない場合の部分構造論理の複雑さの状況はやや複雑です。ここで、命題線形論理と命題論理で知られていることを調査しようとします。簡単な答えは、収縮が役立つ場合がある（LLCが決定可能、LLが決定できない）、そうでない場合がある（MALLがPSPACE完了、MALLCがACKERMANN完了）などです。

命題論理

CL：古典的な論理
IL：直観主義の論理
LL：線形論理、フラグメントMLL（乗法）、MELL（乗法指数）、MALL（乗法加法）
LLW：アフィンロジック、すなわち、弱化したLL、上記と同じフラグメント
LLC：収縮線形論理、つまり収縮を伴うLL、上記と同じフラグメント
R：関連ロジック。MALLCとは、分配規則、含意フラグメントR、連言含意フラグメントRが異なります $_\to$ $_{\to,\wedge}$

確率の複雑さ

NP完全：MLL [Kan91]
co-NP-complete：CL
PSPACE-complete：IL [Sta79]、MALL [Lin92]
2EXP-complete：R、IMLLC、IMELLC [Sch14] $_\to$
タワー完了：MELLW、LLW [Laz14]
ACKERMANN-complete：R [Urq99]、MALLC、LLC [Laz14] $_{\to,\wedge}$
$\Sigma_1^0$ -complete：LL [Lin92]、R [Urq84]

ここでの主な未解決の問題のいくつかは、MELLが決定可能かどうか、およびチケットロジック（Rのバリアント）の含意フラグメントTの複雑さです。 $_\to$

参照資料

[Kan91] Max Kanovich、線形論理の乗法的断片はNP完全である、研究報告書X-91-13、言語、論理、情報研究所、1991年。
[Laz14] RankoLazićおよびSylvain Schmitz、VASS 、MELL、およびExtensionsの非分岐の複雑さ、原稿、2014年。arXiv：1401.6785 [cs.LO]
[Lin92]パトリック・リンカーン、ジョン・ミッチェル、アンドレScedrov、及びナタラジャン・シャンカー、命題線形論理の決定問題、純正応用ロジック56の年報（1-3）：239から311まで、1992 10.1016 / 0168から0072（92） 90075-B
[Sch14] Sylvain Schmitz、含意関連ロジックは2-ExpTime-complete、原稿、2014年。arXiv：1402.0705 [cs.LO]
[Sta79]リチャード・スタットマン、直観主義命題論理は完全な多項式空間である、理論計算機科学9（1）： 67–72、1979。doi：10.1016 / 0304-3975（79）90006-9
[Urq84] Alasdair Urquhart、含意と関連する含意の決定不能性、Journal of Symbolic Logic 49（4）：1059–1073、1984。doi ：10.2307 / 2274261
[Urq99] Alasdair Urquhart、Relevance Logic IIの決定手順の複雑さ、Journal of Symbolic Logic 64（4）：1774–1802、1999 . 10.2307 / 2586811

— シルヴァン
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おそらく、Dale Millerの線形論理プログラミングの概要は、良い出発点でしょうか？

— アンドレイ・バウアー
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