MALL +無制限の再帰型はチューリング完全ですか？

Yコンビやオメガコンビれていないラムダ計算の再帰コンビを見ると、 これらのコンビネーターはすべて、定義のどこかで変数を複製することになることは明らかです。

$$\begin{array}{lcl} \omega & = & (\lambda x.\,x\;x)\;(\lambda x.\,x\;x)\\ Y & = & \lambda f.\,(\lambda x.\,f\;(x\;x))\; (\lambda x.\,f\;(x\;x)) \\ \end{array}$$

さらに、これらのコンビネーターはすべて、再帰型で拡張すると、単純型付きラムダ計算で型指定可能になりますここで、は再帰型で否定的に発生できます。$\mu\alpha.\,A(\alpha)$$\alpha$

ただし、線形ロジックの指数のないフラグメント（つまり、MALL）に完全な（負の発生）再帰型を追加するとどうなりますか？

次に、収縮を与える指数関数はありません。ようなものを使用して、指数のタイプを エンコードでき しかし、導入ルールを定義する方法はわかりません。定義するには固定小数点コンビネータが必要だからです。そして、指数を定義し、収縮を取得し、固定小数点コンビネーターを取得しようとしました！$!A$

$$!A \triangleq \mu\alpha.\;I \;\&\; A \;\&\; (\alpha \otimes \alpha)$$

MALLと無制限の再帰型がまだ正規化されている場合ですか？

MALLで加法転流を省略した場合、プルーフのサイズがカット除去ステップごとに減少することを示すのは簡単です。加法転流が許可される場合、証明はそれほど簡単ではありませんが、元の「線形論理」論文で提供されました。これは、Small Normalization Theorem（Corollary 4.22、p71）と呼ばれます。これは、収縮と促進の規則が関係しない限り（MALLの場合）、正規化が成立することを示しています。引数は式自体に依存せず、無限（たとえば、再帰的に定義）にすることができます。

それはタイプのプロモーションコード化することはできませんことを意味し MALLに、それは修正点コンビネータを可能にするからです。そのためには、いくつかの追加の再帰構造が必要になります。$\mu\alpha.\;I \;\&\; A \;\&\; (\alpha \otimes \alpha)$

注：MALLをコインダクションの原理（の双対の導入）と組み合わせて使用して、システムを正常に保ち、！A。MALL +コインダクションで再帰型を許可すると、チューリングが完了します。しかし、MALLが単独で検討される限り、再帰型を許可することは大したことではありません。$\mu$$!A$