証明ネットについてどう考えるべきですか？

この質問に対する答えで、Stephane Gimenezは、線形論理の証明のための多項式時間正規化アルゴリズムを指摘しました。Girardの論文の証明では証明ネットを使用していますが、これは実際にはあまり知らない線形論理の側面です。

さて、私は以前に証明ネットに関する論文（Pierre-Louis Curienのメモなど）を読んだことがありますが、実際には理解していません。だから私の質問は次のとおりです。私はそれらについてどう考えるべきですか？「それらについて考える方法」とは、それらの背後にある非公式の直観（例えば、それらが計算的にどのように振る舞うか、またはそれらがシークエントとどのように関係するか）と、それらについての定理の両方を意味します。

この質問に答えるには、（1）線形論理の証明理論をよく知っています（カットエリミネーションの証明がどのように行われ、焦点を絞った形であるかなど）、（2）コヒーレンス空間に関するカテゴリのセマンティクスまたはデイコンボリューション、および（3）GoI構築の非常に基本的な初歩。

プルーフネットは、本質的に3つの理由から興味深いものです。

1）プルーフのID。彼らは「2つの証明がいつ同じなのか」という問題に対する答えを提供しますか？シーケント計算では、シーケント計算が必要でない場合でも、シーケント計算が演rules規則間の順序を強制するためにのみ異なる、同じ命題の多くの異なる証明を持つことができます。もちろん、シーケント計算の証明に同値関係を追加することもできますが、同値クラスではカット除去が適切に動作することを示す必要があります。また、モジュロを書き換える必要があります。証明ネットは、すべての等価クラスが単一のオブジェクト上で折りたたまれる構文を提供することにより、等価クラスを処理する問題を解決します。とにかく、この状況は少し理想主義的です。多くの理由で、証明ネットは何らかの形で同等に拡張されることが多いからです。

2）計算による切断手順はありません。プルーフネットでのカット除去は、連続的なカット除去ステップがなくなるため、後続の結石とはまったく異なるフレーバーを取ります。理由は、証明ネットでは、推論規則はそれらの因果関係によってのみ接続されるためです。可換ケースは、あるルールが別の因果関係のないルールによって隠される可能性があるという事実によって生成されます。これは、因果関係のないルールが離れている証明ネットでは発生しません。カット除去のほとんどのケースは可換であるため、カット除去の驚くべき単純化が行われます。これは、明示的な置換を使用したラムダ計算の研究に特に役立ちました（指数関数=明示的な置換のため）。繰り返しになりますが、この状況は理想的です。なぜなら、証明ネットの提示には可換ステップが必要だからです。しかしながら、

3）正確性基準。証明ネットはシーケント計算の証明の翻訳によって定義できますが、通常、証明ネットのシステムは、それが正しい基準、つまり、シーケント計算の証明。正当性基準が必要な理由は、一部のグラフがどの証明にも対応しないという意味で、一連の証明ネットコンストラクター（リンクと呼ばれる）によって生成される無料のグラフィカル言語に「多すぎるグラフ」が含まれているためです。正確性基準アプローチの関連性は通常、完全に誤解されています。証明とは何かの非帰納的な定義を提供し、演natureの性質に関する驚くほど異なる視点を提供するため、重要です。特徴づけが非帰納的であるという事実は通常批判されますが、それはまさに興味深いことです。もちろん、形式化を容易に受け入れることはできませんが、これもその強さです。証明ネットは、証明と用語に関する通常の帰納的観点では利用できない洞察を提供します。証明ネットの基本定理は逐次化定理です。これは、正しさの基準を満たしているグラフは、シーケントCalculus proofとして帰納的に分解できる（正しいグラフに戻す）ことを示しています。

証明ネットは自然演ductionの古典的かつ線形バージョンであると言うのは正確ではないと結論付けさせてください。ポイントは、彼らが証明のアイデンティティの問題を解決する（または解決しようとする）ことと、自然な演ductionが最小の直観主義的論理のために同じ問題をうまく解決することです。しかし、直観主義システムや非線形システムでも証明ネットを作成できます。実際、従来のシステムよりも直観主義的なシステムの方がうまく機能します。

$-A$$A$$-A$$A$

ジラールは、自然の演isがまさにこのように非対称であることに気づきました。それが直観主義の論理と一致する理由です。証明ネットは、自然な演ofの対称形を発明しようとするジラールの試みを表しています。

$\land\to$

$\Gamma \vdash A$$\vdash \Gamma^\perp, A$

私の元の答えで逃したもの：証明ネットは証明を書く方法であり、証明はプログラムであることを知っています。したがって、プルーフネットはプログラムを記述する方法でもあります。

プログラムを記述するための従来の関数表記法は、自然な演ductionがそうであるように非対称です。したがって、証明ネットは、対称形式でプログラムを記述する方法を示します。それがプロセス計算がどのように絵に入るかです。

対称性を表現する別の方法は、私は2つの論文で検討している論理プログラミング、経由で：Aは、方向ロジックプログラムのための基盤を入力し、論理プログラミングの高次な側面

証明ネットがシーケント計算にどのように関係するかに焦点を当て、より動的なものを残します。

証明ネットは、シーケント計算の証明を抽象化します。プルーフネットは、シーケント計算の証明のセットを表します。証明ネットは、後続の微積分証明間の重要でない違いを忘れます（どの式がそれより下で分解されるかなど）。ここで重要な定理は「順序付け」であり、これは証明ネットを順序計算の証明に変換します。

これは主に、質問の「計算上の振る舞い」の部分に関連しています。計算の観点から証明ネットをよく理解する1つの方法は、少し具体的な解釈（プロセス代数など）を調べることです。

以下に興味があるかもしれません：

• Abramskyによる論文（Proof ExpressionsのCLLセクション）： 線形論理の計算解釈。また、このペーパーでは、プルーフネットの対応する結果に近いいくつかの結果を示しているため、質問の2番目の側面に役立つ可能性があります。

• ホンダとローランの論文は、Polarized Proof Netsと呼ばれる特定の種類のProof NetsがPi-calculusプロセスにどのように対応するかを示しており、前述のMartin Berger： 型付きpi-calculusとPolarized Proofネット

• （ここで私は恥知らずに自分の仕事を宣伝します）ドラフト： プロセス代数形式の証明ネット

また、証明ネットとラムダ計算に関連するいくつかの作品もあり、これらもかなりの直観を与えます。たとえば、Delia KesnerとStéphaneLengrandは次のようにします。

• λ計算のリソース演算子

Michele PaganiとLorenzo Tortora de FalcoによるLLの強い正規化特性を詳細に証明するために、証明構造に依存するこのタイプの作業（理論的側面を非常に重視）にも興味があるかもしれません。

• 2次線形論理の強力な正規化プロパティ （このペーパーには、重要な定理の素晴らしいマップが含まれています）。

一般に、どの定理を研究すべきですか？まあ、私はほとんど権威ではありませんが、「シーケンシャル化」（Proof NetsとSequent Proofsに関連します。LLの元のTCS論文を参照してください）、および強力な正規化証明（予想どおり、しかし、多くの重要なPN定理はそれに関連しています[または、それを証明するために使用されます]）。

フォーカスに精通している場合は、Andreoliによるこの論文にも興味があるかもしれません。

• 線形および非可換論理における収束と証明ネット

お役に立てれば。繰り返しますが、これらの参照は実際には完全ではありません。

最高、ディミトリス

プルーフネットとフォーカスされた計算の関係をより緊密にすること、複数の左ホールが同時に存在する可能性がある「マルチフォーカス」バリアントを使用すること、および「最大フォーカス」プルーフを研究することに関する興味深い研究が最近ありました。正しい計算を選ぶと、最大焦点のプルーフはMLLプルーフネットに、または古典的な論理では拡張プルーフに対応することができます（拡張証明と多焦点シーケント証明の間の同型性、Kaustuv Chaudhuri、Stefan HetzlおよびDale Miller、2013）

私の論文「部分構造論理の証明ネットと行列の調査」を確認できます。

抽象：

この論文は、2種類の「圧縮された」証明スキーム、\ emph {matrix method}と\ emph {proof nets}の調査です。これらは、サブストラクチャー階層に沿って古典から最後までのさまざまなロジックに適用されます。非連想Lambekシステム。後者の証明ネットの新しい処理が提供されます。プルーフネットと行列の説明は、シーケントに基づいて統一された表記で提供されるため、さまざまなロジックのスキームのプロパティを簡単に比較できます。