コヒーレンス空間にプルバックとプッシュアウトがあるのはいつですか？

$\newcommand{\symp}{\Bumpeq}$

$\symp_X$ $X$ $(X, \symp_X)$ $f : X \to Y$ $f \subseteq X \times Y$ $(x,y) \in f$ $(x',y') \in f$

もしその後、、および $x \symp_X x'$ $y \symp_Y y'$
もし及び次いで。 $x \symp_X x'$ $y = y'$ $x = x'$

コヒーレンス空間のカテゴリは、デカルトおよびモノイドの両方が閉じています。このカテゴリにプルバックまたはプッシュアウトが存在する場合、およびプルバックまたはプッシュアウトのモノイダル類似物が存在する場合（およびこの概念が理にかなっている場合の定義方法）を知りたいです。

— ニール・クリシュナスワミ
ソース

この定義はどこから来たのですか？Girard、Lafont＆Taylorの1つは非常に異なって見えます。

— チャールズスチュワート

2つの定義は同等です。私はウェブを原始的なものとして捉えており、そこからクリークのセットを導き出すことができます。

— ニールクリシュナスワミ

ニールの定義の選択は、オリジナルよりもはるかにわかりやすいと思います。

— デイブクラーク

私は明白な質問を述べます：それらが常に存在するとは限らないことを知っていますか？言い換えれば、制限/コリミットを持たないコヒーレンス関係へのファンクターの例に慣れていますか？

— オハドカンマー

2つの定義は同等です -正しいですが、この定義を作成したのですか、それとも他の人から取得したのですか？ところで、大きな質問ですが、イコライザーが常に存在するかどうかを誰も知らないようです。

— チャールズスチュワート

~~コヒーレンス空間のイコライザーを定義する方法がわかりました。つまり、製品には必ずプルバックが存在します。~~実際にこれを行う方法がわかりません...。

コンポジションは通常のリレーショナルコンポジションであるため、および場合、次のようになります。 $f : A \to B$ $g : B \to C$

$f ; g = \{(a,c) \in A \times C \;|\; \exists b \in B.\; (a,b) \in f \land (b,c) \in g\}$

（この定義において、実存は実際に意味のユニークな存在である。我々が持っていると仮定ようにと。我々が知っているので、その、これは意味し、これはおよびおよびを持っているため、結果としてことを意味します。 $b' \in B$ $(a,b') \in f$ $(b', c) \in g$ $a \Bumpeq_A a$ $b \Bumpeq_B b'$ $b \Bumpeq_B b'$ $(b,c) \in g$ $(b',c) \in g$ $b = b'$

イコライザーを作成します。コヒーレンス空間とがあり、射がます。次に、イコライザーを次のように定義します。 $A$ $B$ $f, g : A \to B$ $(E, e : E \to A)$

Webの場合は、これにより、といずれかが一致するのトークンのサブセットが選択されます（一貫性-最初のバージョンではこれが間違っていました））、または両方とも未定義です。
$E = {\begin{array}{lc} \forall b . (a, b) \in f ⟹ \exists a^{'} ≎_{A} a . (a^{'}, b) \in g \\ a \in A & \land \\ \forall b . (a, b) \in g ⟹ \exists a^{'} ≎_{A} a . (a^{'}, b) \in f \end{array}}$ $E = \left\{ \begin{array}{l|c} & \forall b.\; (a,b) \in f \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in g \\ a \in A & \land \\ & \forall b.\; (a,b) \in g \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in f \\ \end{array} \right\}$ $A$ $f$ $g$
コヒーレンス関係を定義し。これは、のコヒーレンス関係のサブセットへの制限です。があるので、これは反射的で対称的です。 $\Bumpeq_E = \{ (a,a') \in \Bumpeq_A \;|\; a \in E \land a' \in E\}$ $A$ $E$ $\Bumpeq_A$
イコライザマップちょうど対角である。 $e$ $e : E \to A = \{(a, a)\;|\;a \in E\}$

証明の最初のバージョンを台無しにしたので、普遍性プロパティを明示的に指定します。となるような他のオブジェクトと射がある。 $X$ $m : X \to A$ $m;f = m;g$

をとして定義し。明らかにですが、同等性を示すには、逆のを示す必要があり。 $h : X \to E$ $\{(x,a) \;|\; a \in E\}$ $h;i \subseteq m$ $m \subseteq h;i$

と仮定します。を示す必要がありおよび。 $(x,a) \in m$ $\forall b.\; (a,b) \in f \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in g$ $\forall b.\; (a,b) \in g \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in f$

まず、およびと仮定します。したがって、およびであることがわかっているため、です。したがって、であるため、およびようながあります。以来、、我々は知っている、そしてそうありそのような。 $b \in B$ $(a,b) \in f$ $(x,a) \in m$ $(a,b) \in f$ $(x,b) \in m;f$ $(x,b) \in m;g$ $a' \in A$ $(x,a') \in m$ $(a',b) \in g$ $x \Bumpeq x$ $a \Bumpeq a'$ $a' \Bumpeq a$ $(a',b) \in g$

対称的に、およびと仮定します。したがって、およびであることがわかっているため、です。したがって、であるため、およびとなるがあります。以来、、我々は知っている、そしてそうあるように。 $b \in B$ $(a,b) \in g$ $(x,a) \in m$ $(a,b) \in g$ $(x,b) \in m;g$ $(x,b) \in m;f$ $a' \in A$ $(x,a') \in m$ $(a',b) \in f$ $x \Bumpeq x$ $a \Bumpeq a'$ $a' \Bumpeq a$ $(a',b) \in f$

— ニール・クリシュナスワミ
ソース

私はあなたが証明することができますどのように表示されていない普遍。そこ因子する唯一の方法は任意である、およびその者が設定することにより、ように。明らかにですが、その逆が成り立つ理由はわかりません：とをます。次に、がありしたがって、の選択からます。構成の定義から、とようなが存在します。推測できます

e

$e$

m : X \to A

$m : X \rightarrow A$

h : X \to E

$h : X \rightarrow E$

h := {(x, a) : (x, a) \in m, a \in E}

$h := \{(x, a) : (x,a) \in m, a \in E\}$

h; e \subset m

$h;e \subset m$

x m a

$xma$

b \in B

$b \in B$

a f b

$afb$

x (m; f) b

$x(m;f)b$

m

$m$

x (m; g) b

$x(m;g)b$

a^{'}

$a'$

x m a^{'}

$xma'$

a^{'} g b

$a'gb$

a \symp a^{'}

$a \symp a'$ 、しかし、私たちはそのとしか知らないので、そのを推測し終了することはできません。

a f b

$afb$

a^{'} g b

$a'gb$

a = a^{'}

$a=a'$

— オハドカンマー

はい、あなたは正しいです-イコライザーが選択するサブセットは、平等ではなく、一貫性がなければなりません。これを反映するように定義を変更し、図が明示的に通用するという証明を与えました。

— ニールクリシュナスワミ

ああ...しかし、今ではは図を均等化しません。実際、仮定ます。次に、の定義により、があります。そのため、ようなが存在し。しかし、そのはないため、示すことはできません。あなたは私が昨夜に出くわしたのと同じ問題にぶつかっているように見えるので、上の私の明らかな質問です。しかし、おそらくあなたは私が失敗した場所で成功するでしょう！次のステップは、ような、より洗練されたを使用することでしたが、は有効な射ではないため、より慎重な選択が必要です。

e

$e$

a (e; f) b

$a(e;f)b$

e

$e$

a f b

$afb$

a^{'} \symp a

$a'\symp a$

a^{'} g b

$a'gb$

a e a^{'}

$aea'$

a (e; g) b

$a(e;g)b$

e

$e$

a e a^{'} ⟺ a \symp a^{'}

$aea' \iff a\symp a'$

e

$e$

— オハドカンマー

私は今、答えがすでに誰かの論文にあったことを望んでいた理由を覚えています。:)とにかく、私はそれについてもっと考えます-逆画像がペアワイズインコヒーレントであるという事実を介して可能ないくつかのトリックがあるかもしれません。

— ニールクリシュナスワミ