命題の解決は完全な証明システムですか？

この質問は命題論理に関するものであり、「解決」のすべての出現は「命題解決」として読まれるべきです。

この質問は非常に基本的なものですが、しばらくの間私を悩ませてきました。命題の解決は完全であると主張する人もいますが、解決が不完全であると主張する人もいます。解決が不完全であるという意味を理解しています。また、人々はそれが完全であると主張するかもしれませんが、「完全」という言葉は、自然な演orまたはシーケント計算を説明するときに「完全」が使用される方法とは異なります。式がCNFである必要があり、Tseitin変換を介した式の等価CNF式または等化可能CNF式への変換は証明システム内で考慮されないため、修飾子 "refutation complete"でも役に立ちません。

健全性と完全性

構造のある宇宙と式の集合と構造の真理の古典的なタルスキアン概念との間の関係持つ古典的な命題論理の設定を仮定しよう $\models$ 。私たちは、書き込み $\models \varphi$ 場合 $\varphi$ 検討されているすべての構造に真実です。私はまた、システムを前提とします $\vdash$ 式から式を導出するために。

システムはある音に関して我々が持っている時はいつでも場合、我々はまた、持っている。システムはで完全に関して我々が持っている時はいつでも場合、我々はまた、持っている。 $\vdash$ $\models$ $\vdash \varphi$ $\models \varphi$ $\vdash$ $\models$ $\models \varphi$ $\vdash \varphi$

解決規則

リテラルは、原子命題またはその否定です。句は、リテラルの分離です。CNFの式は、句の組み合わせです。解決規則は、

解決ルールは、句の組み合わせた場合と主張句と充足され、句も充足しなければなりません。 $C \lor p$ $\neg p \lor D$ $C \lor D$

数式の導入に関する規則がないため、解決規則だけが証明システムとして理解できるかどうかはわかりません。少なくとも句の導入を可能にする仮説ルールが必要だと思います。

解像度の不完全さ

解像度は防音システムであることが知られています。私たちは句の導出できるかどうか、つまり式からその後、解像度を使用して $C$ $F$ 。解像度もされ、完全な反論我々が持っている場合は意味を $\models F \implies C$ その後、解像度を使用してからを導出できます。 $\models F \implies \bot$ $\bot$ $F$

定式化を検討する

と。 $\varphi := p \land q$ $\psi := p \lor q$

GentzenのシステムLKまたは自然の演duction法を使用して、含意導出できます。完全に証明システム内にあります。から始めるとリゾルベントがないため、解像度を使用してこの意味を導き出すことはできません。 $\varphi \implies \psi$ $\varphi$

私は、解像度を使用してこの含意の妥当性をどのように証明できるかを見ています：

式 $\neg (\varphi \implies \psi)$
標準の分布規則を使用するか、Tseitin変換を使用して、上記の式をCNFに変換します。
派生解像度を使用して変換式から。 $\bot$

このアプローチは、解像度証明システムの外にあるステップ（1）と（2）を実行する必要があるため、私には不満です。したがって、自然な演orまたはシーケンシャル計算が完全であると言う方法では、解決が完全ではないという非常に明確な意味があるようです。

ご質問

上記のすべてを考えると、私の質問は次のとおりです。

解決策について議論する際に、どの証明システムが検討されていますか？それは単なる解決規則ですか？他のルールは何ですか？
自然な演andとその後の計算が完全であるという意味で、解決が完全ではないことは、私には非常に明らかです。解決が完全であるという意味が不完全であるという意味よりも興味深いという理由だけで、解決が完全な虐待用語であると主張する文献はありますか？
完全性の概念のこの違いは、解像度と他の場所に適用され、それらを調和させる方法は、文献でさらに深く議論されていますか？
また、解像度はカットルールの観点からシーケント計算で定式化できることも認識しています。解像度の「正しい」証明理論的見解は、CNFの式の充足可能性をチェックするのに十分なのはシーケント計算の断片であるというだけですか？

— ヴィジェイD
ソース

（1）解像度のみのCNF式（または、QBFを行う場合は、解像度とforall-reductionのQCNF式）; （2）はい、それの反論の完全な、とまだ若干異なる意味、すなわち、もし

その後、

。

ψ ⊨ ⊥

$\psi\models\bot$

ψ ⊢ ⊥

$\psi\vdash\bot$

— ラドゥグリゴール

ここでほぼ同様の質問。投稿のためのthx。基本的に、iiuc / afaik、解像度は1次論理よりもはるかに多くのシステムに使用されますが、1次論理内では「サウンド/完全」です。用語が単なるブール変数ではなく、実存修飾子などの「より大きな」システムでは、完全ではありません。論理の分野では用語の定義があまりにも標準化されておらず、用語の「オーバーロード」などがたくさんあります。

— vzn

一部の人々は、それが「であると言う理由ですrefutationally完全」、例えばL.バッハマイアーおよびH. Ganzinger、「解像度定理証明、」自動推論のハンドブック、巻。1、頁19から99、2001。

— Trylks

質問では反論的完全性について議論します。

— ヴィジェイD

回答:

解決策について議論する際に、どの証明システムが検討されていますか？それは単なる解決規則ですか？他のルールは何ですか？

リテラルのみで構成されるシーケンスである「節」のコンテキストで解決について説明します。古典的な節は書くこともできます。

A_{1}, \dots, A_{n} \to B_{1}, \dots, B_{m}

$A_1,\ldots,A_n \to B_1,\ldots,B_m$

\to {\bar{A}}_{1}, \dots, {\bar{A}}_{n}, B_{1}, \dots, B_{m}

${} \to \bar{A}_1,\ldots,\bar{A}_n, B_1, \ldots, B_m$ ひとつはシークエントの両面で、作業。これらの片側シーケントをリテラルのマルチセットとして扱うのが一般的です。

LKの条項に制限があるのは、4つの推論規則のみです。

身元
カット（命題解像度）
収縮（命題的因数分解）
弱体化

これらの4つのルールが節を推測するために完全であることは明らかです。

命題1任意の句のためにと節の集合、我々はの場合に限り。 $C$ ${\cal S}$ ${\cal S} \models C$ ${\cal S} \vdash C$

反論証拠変換の問題に、の否定を表す節の集合である ${\cal S} \vdash C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$ $N(C) = \{\{\bar{A}\} \mid A \in C\}$ $C$ 。

それは明らかであるの場合に限り。私たちの4ルールシステムは、変換された問題を証明するのにまだ十分ですが、アイデンティティと弱体化はもう必要ないことがわかります。残りの2つの規則は、「解決証明手順」と呼ばれます。 ${\cal S} \vdash C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

命題2の任意の句の節のセット、我々はの場合に限り $C$ ${\cal S}$ ${\cal S} \models C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$ のみカット及び収縮を使用します。

問題を反論の証拠に変換するポイントは2つあります。

駆動させることにより、証明探索をガイドする良い機会があります。 $N(C)$
完全な述語論理のハンドルがあり、その式は充足可能性までCNFに変換できます。

解像度の「正しい」証明理論的見解は、CNFの式の充足可能性をチェックするのに十分なのは、連続した計算の断片であるというだけですか？

確かに！

— ウダイ・レディ
ソース

Udayに感謝します。1つの質問：カットルールは、元の式の節を引き続き結果として保持します。解決では、これらは「最適化」され、結果として1つの句のみが削除されます。規則にすべての条項が記載されていないため、解像度が最小限またはローカルの規則であることに同意しますか？

— ヴィジェイD

@VijayD。カットルールを正確に使用していますが、Gentzenとは異なります。Gentzenの証明は次の形式になります

⊢ C

${} \vdash C$

S ⊢ C

${\cal S} \vdash C$

解答の完全性に関する一文の正確な説明と思われるものを答えに追加していただけますか？

— ビジェイD

@VijayD。私の元の答えには2つの「if and only if」ステートメントがありました。これは2つの完全性のプロパティでした。明確にするために、私はそれらをあなたの命題として高く評価しました。（あなたの混乱がどこにあるのかはまだわかりません。おそらく、Kavehが暗示しているように、どの言語で作業しているのでしょうか？）

— Uday Reddy

@VijayD。解像度が「不完全」だと言うことはできないと思います。元の質問であなたが言ったことは、命題の式を節形式に変換するのに必要な変換は、あなたにとって「不満足」であるということです。それは、それらが「不完全」であることを意味しません。

— Uday Reddy

1）

唯一の非構造規則は、解像度（アトム上）です。

\frac{φ \lor C, ψ \lor \bar{C}}{φ \lor ψ}

$\varphi\lor C, \psi\lor \overline{C} \over \varphi\lor \psi$

ただし、ルール自体は証明システムを提供しません。パート3を参照してください。

2）

$\{\land, \lor, \lnot\}$ $\{\land, \lor, \lnot\}$

ある言語から別の言語への「素敵な」翻訳がある限り、完全性について話すことができます。本質的に重要なのは、式を一方から他方に効率的に変換できることです。あなたは確認することができロバートReckhowの論文、彼はそれが任意のセットの選択する意味で結構ですので、フレーゲシステムのための証明の長さがより多項式以上変化しないこと、結合やショーの問題を扱う十分なあなたが好きという接続詞を。

解決の状況も同様です。SATから3SATに削減することにより、CNFへの注意を制限でき、変換を非常に効率的に実行できます。

ここで解決策は単独ではなく、問題は他の証明システムにも適用されることに注意してください。たとえば、式の深さを定数で制限する必要がある境界付き深さフレージを考えてみてください。定義により、式の深さ制限のないファミリを証明できません。

3）

$P$ $\vdash_P$

$\vdash_P$ $\varphi$ $\pi$ $\pi$ $P$ $\varphi$
健全性：がある場合 $P$ -のための証拠 $\varphi$ 、その後 $\varphi$ 本当です。
完全性：もし $\varphi$ が真である場合、 $P$ -のための証拠 $\varphi$ 。

定義は非常に一般的であり、証明の構造についてはまったく言及していません。これらの条件を満たすものはすべて命題証明システムです。

これらの項目でどのクラスの式を考慮する必要がありますか？さまざまなクラスの式が検討されており、私が知っている問題の最初の扱いは、Robert Reckhowの論文であり、Fregeシステムに関係する限り、どの適切な結合子のセットを使用しても問題ないことを示しています同等です。

解像度に関しては、CNFだけでなくすべての式について完全性を確保したい場合、変換が多項式時間で計算可能であるため、任意の式からCNFへの固定多項式時間変換を問題なく証明システムに組み込むことができます。

いずれにせよ、解像度証明システムは次のように機能します。 $\pi$ の派生物です $\bot$ の翻訳から得られた句のセットから解決規則を使用する $\lnot \varphi$ 条項へ。これは、人々が解決命題証明システムと呼ぶ命題証明システムです。

4）

解像度はそのままで問題ありませんが、あなたが言及した方法で考えることもできます。つまり、カット式が正の原子である場合、負の原子を前件に移動し、後継者の肯定的なもの：

\frac{\Rightarrow φ 、 C C \Rightarrow ψ}{\Rightarrow φ 、 ψ}

$\Rightarrow \varphi, C \hspace{1cm} C \Rightarrow \psi \over \Rightarrow \varphi, \psi$

Fregeのサブシステム（および定量化命題論理のようなより強力な同様の命題証明システムのサブシステムでさえ）で命題証明システムの能力を定義するものに注意してください $G$ ）は主に、カットできる数式のクラスです。GentzenのPKを使用して、カットルールをそのようなカット式に適用するように制限することができ、結果の証明システムはCNFの証明の解像度よりも強力ではなくなると思います。CNFの証明（正のアトムを使用してシーケント形式で記述された）は、同様のシークエントのみを持つことができます。

ps：私の答えは、主に証明の複雑さの理論的観点からです。構造的証明理論のような他の視点を確認したいかもしれませんます。

参照：

ロバートA.レックハウ、「命題計算における証明の長さについて」、1976年。

— カベ
ソース

ご回答有難うございます。Udayが似たようなことを言っているのはわかりますが、彼の答えをもっと簡単にフォローできることがわかりました。

— ヴィジェイD

@VijayD, sure, no problem. :)

— Kaveh