型命題はありますか？（タイプとは正確には何ですか？）

私は型システムなどについて多くのことを読んでおり、それらが導入された理由をおおまかに理解しています（ラッセルのパラドックスを解決するため）。また、プログラミング言語と証明システムにおけるそれらの実用的な関連性を大まかに理解しています。ただし、型が何であるかという私の直感的な概念が正しいとは完全には確信していません。

私の質問は、型が命題であると主張することは有効ですか？

言い換えると、「nは自然数」というステートメントは「nは型「自然数」を持っている」というステートメントに対応します。つまり、自然数を含むすべての代数規則がnに当てはまります。（言い換えると、代数ルールはステートメントです。自然数に当てはまるステートメントはnにも当てはまります。）

次に、これは数学的なオブジェクトが複数のタイプを持つことができることを意味しますか？

さらに、すべてのセットのセットを持つことはできないため、セットはタイプと同等ではないことを知っています。私があれば、と主張でしセットはに類似した数学的対象である数や機能、タイプがメタ数学的なオブジェクトの一種であり、同じロジックで種類は、メタ-メタ-数学的対象でありますか？（すべての「メタ」がより高いレベルの抽象化を示すという意味で...）

これにはカテゴリー理論への何らかのリンクがありますか？

型の重要な役割は、1つのユニバースに存在するすべてを考慮するのではなく、対象のオブジェクトを異なるユニバースに分割することです。元々、型はパラドックスを避けるために考案されましたが、ご存知のように、型には他の多くの用途があります。タイプは、オブジェクトを分類または階層化する方法を提供します（ブログエントリを参照）。

命題は型であるというスローガンを扱う人もいるので、あなたの直観は確かに役立ちますが、Steve AwodeyやAndrej Bauerによる[Types]のような命題など、そうではないと主張する、つまり各型には関連する命題があります。型には計算内容があるのに対して、命題にはないため、区別されます。

サブタイプと型強制により、オブジェクトは複数の型を持つことができます。

通常、型は階層で編成され、そこでは型が型の型の役割を果たしますが、型がメタ数学であると言っている限りは行きません。すべてが同じレベルで行われています。これは、依存型を扱う場合に特に当てはまります。

型とカテゴリー理論の間には非常に強いつながりがあります。実際、Bob Harper（Lambekを引用）は、Logics、Languages（typesが存在する場所）、およびCategoriesは聖三位一体を形成すると述べています。引用：

これらの3つの側面は、3つの崇拝の宗派を生み出します。論理、証拠と命題に優位性を与えます。言語。プログラムと型に優位性を与えます。カテゴリ。マッピングと構造に優位性を与えます。

カテゴリ理論との関係を確認するには、カリーハワード通信文を見てロジックとプログラミング言語（タイプは命題）とデカルトの閉じたカテゴリのリンクを確認する必要があります。