型付けされていないλ計算で最も内側の縮小は永続的ですか？

（私はすでにMathOverflowでこれを尋ねましたが、そこには答えがありませんでした。）

バックグラウンド

型なしラムダ計算では、この用語は一つ（例えば、乱暴に異なる結果を生成することが低減するかについて多くのredexes、異なる選択肢を含んでいてもよいここで1ステップ（）はまたはそれ自体に減少します）。削減する場所の異なる（一連の）選択は、削減戦略と呼ばれます。用語あると言われている正規もたらす削減戦略が存在する場合 $(\lambda x.y)((\lambda x.xx)\lambda x.xx)$ $\beta$ $y$ $t$ $t$ 通常の形に。すべての縮小戦略がを標準形に持ってくる場合、用語は強く正規化されていると言われます。（私はどちらを心配していませんが、合流性は複数の可能性があることを保証します。） $t$ $t$

縮小戦略は、が正規形を持っている場合はいつでも、それが最終的なものになる場合、正規化すると言われています（ある意味では可能な限り最良です）。最左端の戦略は正規化です。 $t$

スペクトルのもう一方の端では、項から無限のリダクションシーケンスが存在する場合は常に、ストラテジがそのようなシーケンスを見つける場合、リダクションストラテジは永続的である（ある意味では最悪の可能性がある）と言われます。正規化に失敗する可能性があります。 $t$

私は永久削減戦略を知っているとによってそれぞれ与えられる： $F_\infty$ $F_{bk}$ 及び

\begin{array}{ll} F_{b k} （ C [（ λ バツ 。 s ） t] ） = C [s [t / バツ]] & もし t 強く正規化しています \\ F_{b k} （ C [（ λ バツ 。 s ） t] ） = C [（ λ バツ 。 s ） F_{b k} （ t ）] & さもないと \end{array}

$\begin{array}{ll} F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $t$ is strongly normalizing} \\ F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_{bk}(t)] & \text{otherwise} \end{array}$

両方の場合（指示

ある-redex左端用語で1

-と正規形に。、削減戦略は必ずしも身元あり）戦略

さえある最大-それは用語を規定度ならば、それはそうする最長の可能な削減のシーケンスを使用しています。（例えば、Barendregtの本の13.4を参照。）

\begin{array}{ll} F_{\infty} （ C [（ λ バツ 。 s ） t] ） = C [s [t / バツ]] & もし バツ で発生 s 、または t 正常な形です \\ F_{\infty} （ C [（ λ バツ 。 s ） t] ） = C [（ λ バツ 。 s ） F_{\infty} （ t ）] & さもないと \end{array}

$\begin{array}{ll} F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $x$ occurs in $s$, or if $t$ is on normal form} \\ F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_\infty(t)] & \text{otherwise} \end{array}$

β

$\beta$

C [(λ x . s) t]

$C[(\lambda x.s)t]$

F_{\infty}

$F_\infty$

$\beta$

\begin{array}{ll} L （ t ） = t & もし t 通常の形で \\ L （ λ バツ 。 s ） = λ バツ 。 L （ s ） & にとって s 通常の形ではない \\ L （ s t ） = L （ s ） t & にとって s 通常の形ではない \\ L （ s t ） = s L （ t ） & もし s 、 だがしかし t 正常な形です \\ L （ （ λ バツ 。 s ） t ） = s [t / バツ] & もし s 、 t 両方とも標準形 \end{array}

$\begin{array}{ll} L(t) = t &\text{if $t$ on normal form}\\ L(\lambda x.s) = \lambda x. L(s) &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = L(s)t &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = s L(t) &\text{if $s$, but not $t$ is on normal form}\\ L((\lambda x. s)t) = s[t/x] &\text{if $s$, $t$ both on normal form} \end{array}$

左端から内端への縮小の自然な直観は、すべての作業を行うということです-再利用は失われないため、永続的である必要があります。対応する戦略は（型付けされていない）組み合わせロジックに対して永続的である（すべての直交TRWに対して最も内側の縮小が永続的である）ため、これは完全に自由な青い目の楽観的であるとは感じません...

$\lambda$

答えが「いいえ」であることが判明した場合、反例へのポインタも非常に興味深いでしょう。

— コウ
ソース

MOからのクロスポスト。

— Hsien-Chih Chang張顯之

...最初の行で述べたように。

— コウ

@kow：はい、あなたは正しいです。クロスポストには何の問題もありません:)リンクは、二重回答を防ぐために、MOのコメントと回答の両方をたどるだけです。metaに関する議論を参照してください。

— Hsien-Chih Chang張顯之

@kow：次回質問をクロスポストするときは、できれば双方向でリンクを追加することを忘れないでください。

— 伊藤剛

L (L (s) t)

$L(L(s)t)$

s

$s$

L (s)

$L(s)$

L (L (s))

$L(L(s))$

$tt$ $t=(\lambda x. (\lambda y.1) (x x))$ $L$

$L(tt)=L(t)t=L(\lambda x.(\lambda y.1) (x x))t=(\lambda x.L((\lambda y.1) (x x)))t=(\lambda x.1)t$

$F_\infty$ $F_\infty([(\lambda x.(\lambda y.1 (x x))) t]))=(\lambda y.1) (tt)$

— ラドゥ・グリゴア
ソース