超有限順序の帰納法によりシステムFの弱い正規化を証明できますか

単純型付きラムダ計算の弱い正規化は、帰納法により証明（チューリング）できます。自然数に再帰子をもつ拡張ラムダ計算（Gentzen）には、帰納法による弱い正規化戦略があります。ε $\omega^2$$\epsilon_0$

System F（またはそれより弱い）はどうですか？このスタイルには弱い正規化の証拠がありますか？そうでない場合、それはまったく可能ですか？

建設的な証明理論（建設的な序数の理論と密接に結びついている）と2次の命令的算術（ウルリックが指摘するように、システムFと強度が同等である）との関係に関する最も包括的な調査は、ジラール（1989）です。そこで彼は拡張器の理論（1981）に基づいていますが、私はそれを実際には従いませんが、本質的には高次のスコーレム化の非構成理論を提供すると思います。

私の理解では、あなたが表現できないということである彼らはあなたが一次誘導スキームの任意の並べ替えを追加することで解消することができない方法でimpredicativeあるため、ビショップマルタンLOFの意味での建設的に数式を。$\Sigma^1_2$

多型ラムダ計算に基づいた型理論に含意的な構成主義を根付かせ、システムFに対するGirardのSN証明からの簡約候補手法を使用して合理的な全順序を課すことができると単純に規定できることを順序理論家に提案したことを覚えていますこれから得られる等価クラスを序数と呼ぶ構造の宇宙。彼はあなたがそれを機能させるかもしれないと言ったとして私が取り上げたインテリジェントな何かを言ったが、それは正直な労苦よりも盗難のすべての利点があるだろう。それを機能させるためには、そのような序数の存在を集合論で証明するのは十分ではありません。順序のために建設的な三分法の証明が必要です。

要約すると、私が知っている文献では、司教マルティン＝ロフによる直観主義的な構造の通常の概念で、「いいえ」を強く示唆しています。もしあなたが正直な努力に嫌気がさし、命令的な構成主義を受け入れるなら、私の推測ではそれはおそらくできると思います。当然のことながら、必要な三分法を建設的に証明するには、システムFのより強力な理論が必要ですが、帰納的構築の微積分法は明白な候補を提供します。

参照資料

1. ジラール、ジャンイヴ（1981）、 -logic。I.拡張器、数理論理学年報21（2）：75–219。$\Pi^1_2$
2. Girard（1989）証明理論と論理的複雑性、vol。私、ナポリ：ビブリオポリス。ボリュームIIはありません。

非常に愚かな方法で、当然のことながら弱い正規化が成り立つ限り、合理的なシステムの弱い正規化は、建設的な序数の帰納法によって証明できます。実際、システムFが弱い正規化を有することのステートメントは、のように演算でformalizableある文、そのように高さの非天然建設序表記沿っtransfinite誘導により（それは本当のため）証明可能であるω 2。（この順序がどのように機能するかについては、数学スタック交換に関するこの質問を参照してください。）$\Pi^0_2$$\omega^2$

$\varepsilon_0$$\Gamma_0$

いつか誰かが二次算術の序数表記法を考え出し、誰もが自然であることに同意し、それがSystem Fの弱い正規化を証明するために正直な方法で使用できることを願っています。

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

さらに、2次の算術演算は非常に強力であり、その「証明理論順序」（「順序分析の技術、セクション3」）の建設的な上限はまだ知られていないと思います。

この建設的な順序の限界は、あなたが要求する帰納を行うために必要なものだと思います。