PAといくつかの型理論の相対的な一貫性

型理論については、一貫性により、人が住んでいない型を持っていることを意味します。ラムダキューブの強い正規化から、システムとシステムが一貫していることがます。MLTT +帰納的タイプにも正規化の証明があります。ただし、これらはすべてPAのモデルを構築するのに十分強力である必要があり、これはPAがこれらの理論から一貫していることを証明します。システムは非常に強力であるため、教会の数字を使用してモデルを構築することにより、PAの一貫性を証明できると期待しています。MLTT + ITには自然数誘導型があり、一貫性も証明する必要があります。 $F$ $F_\omega$ $F$

これはすべて、これらの理論の正規化証明がPAに内在化できないことを意味します。そう：

システム、システム、およびMLTT + ITは実際にPAの一貫性を証明できますか？ $F$ $F_\omega$
可能であれば、システム、、およびMLTT + ITの正規化を証明するには、どのメタ理論が必要ですか？ $F$ $F_\omega$
一般に型理論の証明理論、または特にこれらの型理論のいくつかに良い参照がありますか？

type-theory proof-theory

— はじける
ソース

システムFでは、教会の数字の誘導原理が得られないため、方程式から外れます。

— -gallais

あなたの質問1に対する短い答えはnoですが、おそらく微妙な理由のためです。

まず、システムと演算の一次理論を表現することができない、とのも少ない一貫。 $F$ $F_\omega$ $\mathrm{PA}$

第二に、これは本当に驚くべきことである、、実際にそれらのシステムの両方の一貫性を証明することができます！これは、型を集合として解釈する、いわゆる証明無関連モデルを使用して行われます。ここで、は空でない型の住民を表すダミー要素です。その後、一方が動作するための単純なルールを書き留めることができるとシステムのモデルを取得することなく、容易にそのようなタイプの、内型によって解釈さ $\mathrm{PA}$ $\in\{\varnothing,\{\bullet\}\}$ $\bullet$ $\rightarrow$ $\forall$ $F$ $\forall X.X$ $\varnothing$ 。一つは、のために同様のことを行うことができます有限機能スペースとして高い種類を解釈するためにもう少し気を使って、。 $F_\omega$

明らかな場合パラドックスは、ここにあります正規化（私は一瞬で紹介される）これらの一見強力なシステムの一貫性を証明することはできませんが。 $\mathrm{PA}$

$p$ $\phi$ $p\Vdash \phi$ $\phi$ $p$ $p\not\Vdash\bot$

定理：もし 2次演算の定理である、一部閉じ用語あるシステムのように $\phi$ $\mathrm{PA}_2$ $t$ $F$
$t ⊩ ϕ$ $t\Vdash\phi$

この定理はで証明できる、と私たちは持っているので、とゲーデルの引数が適用され（およびシステムの正常化を証明することはできません）。逆含意も同様に保持されることに注意してください。したがって、システム正規化を証明するのに必要な証明論的能力の正確な特性があります。 $\mathrm{PA}$

P A ⊢ F is normalizing \Rightarrow {P A}_{2} is consistent

$\mathrm{PA}\vdash F\mbox{ is normalizing}\Rightarrow\mbox{$\mathrm{PA}_2$ is consistent}$

P A

$\mathrm{PA}$

F

$F$

F

$F$

システムのための似たような話がある私は信じて、、、高い算術に対応。 $F_\omega$ $\mathrm{PA}_\omega$

最後に、誘導型のMLTTの扱いにくいケースがあります。ここでもやや微妙な問題が発生します。確かにここではの一貫性を表現できるので、それは問題ではありません。また、型が少なくとも2つの要素（無限の量の異なる要素）を持っていることを証明できるため、、実際には）。 $\mathrm{PA}$ $\mathrm{Nat}$

しかし、我々は高次直観主義理論の驚くべき事実に遭遇：、Heyting算数の高次のバージョンである保守的なオーバー！特に、一貫性を証明することはできません（これは一貫性と同等です）。これの直観的な理由は、直観的な関数空間では、定義可能なすべての関数が計算可能でなければならないため、任意のサブセットを定量化できないことです。 $\mathrm{HA}_\omega$ $\mathrm{HA}$ $\mathrm{PA}$ $\mathrm{HA}$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$

特に、私はあなたがの一貫性を証明することができるとは思わないあなたは宇宙なしMLTTにのみ自然数を追加する場合。ユニバースまたは「より強力な」誘導型（順序型など）を追加することで十分なパワーが得られると思いますが、これについては言及していません。宇宙では、モデルを構築するのに十分な集合論があるため、議論は非常に単純に思えます。 $\mathrm{PA}$ $\mathrm{HA}$

最後に、型システムの証明理論への参照：ここには文献に本当にギャップがあり、これらすべての主題のきれいな扱いを楽しみます（実際、いつか自分でそれを書くことを夢見ています！）その間：

ここではMiquelとWerner が証明に関係のないモデルについて説明しますが、それらは構造計算のためにそれを行います。
実現可能性の議論は、ジラール、テイラー、ラフォンの古典的な証明とタイプでスケッチされています。彼らはまた、証明に関係のないモデルをスケッチし、他にも多くの有用なものがあると思います。おそらく最初の参照です。
高階ヘイティング算術の保守性の議論は、トロエルストラとファン・ダーレンによる数学の構成主義のとらえどころのない第2巻で見つけることができます（こちらを参照）。両方のボリュームは非常に有益ですが、初心者、私見のために読むことは非常に困難です。また、本の時代を考えると驚くことではない「現代の」タイプ理論の主題をある程度避けています。

コメントの追加の質問は、MLTT + Inductivesの正確な一貫性強度/正規化強度に関するものでした。ここでは正確な答えはありませんが、確かに答えは宇宙の数と許される帰納的家族の性質に依存します。Rathjenは、優れた論文「The Strength of some Martin-Lof Type理論」でこの質問を検討しています。

WRTの正規化は、基本的な考え方であること、2つの理論のための場合はおよび、我々は $\cal{T}$ $\cal{U}$

P A ⊢ C o n (T) \Rightarrow C o n (U)

$\mathrm{PA}\vdash\mathrm{Con}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Con}(\cal{U})$

その後、一般的に

P A ⊢ 1- C o n (T) \Rightarrow N o r m (U)

$\mathrm{PA}\vdash \mbox{1-$\mathrm{Con}$}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Norm}(\cal{U})$

ここで、1- は1-consistency、は（弱い）正規化です。 $\mathrm{Con}$ $\mathrm{Norm}$

MLTT +自然数（及び再帰）のタイプは、保守的な拡張であるベッソンで証明され、建設セット理論のための再帰的モデル。 $\mathrm{HA}_\omega$

帰納法または帰納法を使用したMLTTに関しては、状況がわからないので、正確な一貫性の強さの問題は未解決のままです。

— コーディ
ソース

ϵ_{0}

$\epsilon_0$

p

$p$

p ⊮ \emptyset

$p\not\Vdash\emptyset$

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$

N \to N

$\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$