依存型を持つシステム内の型が居住していないことを示す方法（つまり、式が証明できない）

Hindley-Milner型システムのような依存型のないシステムの場合、型は直観主義論理の式に対応します。そこでは、そのモデルがヘイティング代数であることがわかります。特に、式を反証するために、各式がオープンサブセットで表される1つのヘイティング代数に制限できます。$\mathbb{R}$

たとえば、私たちはその表示したい場合生息していない、我々はマッピング構築φのオープンサブセットへの式からRを定義することによって： φ （α $\forall\alpha.\alpha\lor(\alpha\rightarrow\bot)$$\phi$$\mathbb{R}$ その後 ϕ （α → ⊥

$$\begin{align} \phi(\alpha) &= (-\infty, 0) \end{align}$$ これは、元の式が証明できないことを示しています。なぜなら、それは真実ではないモデルを持っているからです。 $$\begin{align} \phi(\alpha\rightarrow\bot) &= \mbox{int}( [0, \infty) ) \\ & = (0,\infty) \\ \phi(\alpha\lor(\alpha\rightarrow\bot)) &= (-\infty, 0) \cup (0,\infty) \\ &= \mathbb{R} \setminus {0}. \end{align}$$

別の可能性は、Kriepkeフレームを使用することです。

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依存型を持つシステムに類似した方法はありますか？Heyting代数またはKripkeフレームの一般化のように？

注：私は決定手順を求めていません。私は、フォーミュラの証明不可能性を目撃できるメカニズム、つまり、証明不可能だと誰かに確信させるメカニズムを求めています。

公式が証明可能でないことは、本質的に2つの方法で行うことができます。運が良ければ、式が既に証明可能でないことがすでに知られている式を暗示していることを型理論の中で示すことができるかもしれません。もう1つの方法は、式が無効なモデルを見つけることです。これは非常に難しい場合があります。たとえば、従属型理論のグループ型モデルを見つけるのに非常に長い時間がかかりました。これは、アイデンティティ証明の一意性を最初に無効化したものです。

「従属型理論のモデルとは何ですか？」という質問 やや複雑な答えがあります。置換の特定のプロパティを無視する場合、モデルはローカルのデカルト閉カテゴリーであり、それが最も簡単な答えかもしれません。「実際の」モデルが必要な場合は、いくつかのオプションがあります。依存型理論のカテゴリモデルに関するnLabページを参照してください。いずれにしても、依存型理論はかなり複雑な形式システムであるため、答えは常に少し複雑です。

このテーマに関する記事を1つだけ提案する場合は、Robert Seelyによるオリジナルの論文「局所的にデカルトの閉カテゴリーと型理論」をお勧めします。私は別のものを提案した場合、それはおそらく例えば、シーリーの論文で修正する必要があるものについて説明し1、マーティン・ホフマンのだろう「ローカルデカルトクローズカテゴリーにおけるタイプ論の解釈に」。

この分野における最近の重要な進歩は、ホモトピー理論モデルが依存型理論のモデルでもあるという認識です。homotopytypetheory.orgの参考文献を参照してください。これは豊富な可能性を提供しますが、モデルを理解するにはホモトピー理論を学ばなければなりません。