量子コンピューティングが従来のコンピューティングよりも高速である、または高速であるという正式な証拠はありますか？

経験的証拠ではなく、量子コンピューティングが従来の/古典的なコンピューティングよりも高速であることをどのような公式の原理で証明しましたか？

これは、計算の複雑さに慣れていない場合、展開するのが少し難しい質問です。計算の複雑さのほとんどの分野と同様に、主な結果は広く推測されていますが推測的です。

通常、効率的な古典的計算に関連する複雑度クラスは、（決定論的アルゴリズムの場合）およびB P P（ランダム化の場合）です。これらのクラスの量子対応物はB Q Pです。3つのクラスはすべてP S P A C E（非常に強力なクラス）のサブセットです。ただし、現在の証明方法は、PがP S P A C Eと同じものではないことを明確に示すほど強力ではありません。したがって、PをB Q Pから正式に分離する方法はわかりません。$\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}$$\mathsf{BQP}$$\mathsf{PSPACE}$$\mathsf{P}$$\mathsf{PSPACE}$$\mathsf{P}$$\mathsf{BQP}$のいずれか-ので、、それらの2つのクラスを分離することは困難分離既に手ごわい仕事よりも Pをから P S P A C E。（ P ≠ B Q Pを証明できれば、 P ≠ P S P A C Eであるという証明がすぐに得られるので、 P ≠ B Q $\mathsf{P \subseteq BQP \subseteq PSPACE}$$\mathsf{P}$$\mathsf{PSPACE}$$\mathsf{P \ne BQP}$$\mathsf{P \ne PSPACE}$$\mathsf{P \ne BQP}$を証明するというすでに非常に難しい問題と同じくらい難しい必要があります。このため、現在の最新技術では、量子コンピューティングが古典的なコンピューティングよりも高速であることを示す厳密な数学的証明を取得することは困難です。$\mathsf{P \ne PSPACE}$

したがって、通常、複雑さのクラス分離の状況証拠に依存します。私たちの最も強力で最も有名な証拠は、を考慮に入れることができるというショーのアルゴリズムです。対照的に、B P Pを考慮することができるアルゴリズムはありません。ほとんどの人は、アルゴリズムが存在しないと考えています。これが、たとえば暗号化にRSAを使用する理由の一部です。大ざっぱに言えば、これは量子コンピューターが効率的に因数分解できることを意味しますが、古典的なコンピューターが効率的に因数分解できないことを示唆しています。これらの理由から、Shorの結果は多くの人にB Q PがB P Pより厳密に強力であることを示唆しています。$\mathsf{BQP}$$\mathsf{BPP}$$\mathsf{BQP}$$\mathsf{BPP}$（したがってよりも強力です）。$\mathsf{P}$

私は、という重大な議論を知りません。ただし、はるかに複雑なクラスの崩壊（コミュニティの少数派である）を信じる人々からのものです。私が量子コンピューティングに対して聞いた最も深刻な議論は、物理学により近い立場から来ており、B Q Pは量子コンピューティングの性質を正しく捉えていないと主張しています。これらの引数は、一般的に（一部はまだ未知の基本的な物理バリケードがあるので、例えば）肉眼コヒーレント状態を維持し、制御することは不可能であると言うので、オペレータその$\mathsf{BQP = P}$$\mathsf{BQP}$依存しているが、私たちの世界で（でも原則的に）実現することができません。$\mathsf{BQP}$

他の計算モデルに移行し始めた場合、特に扱いやすいモデルは量子クエリの複雑さです（それに対応する古典的なバージョンは決定木の複雑さです）。このモデルでは、総関数について（いくつかの問題に対して）量子アルゴリズムが2次の高速化を達成できることを証明できますが、総関数については、パワー6の高速化よりも上手くできないことを示すことができ、2次が可能な限り最高。部分的な機能については、まったく異なる話であり、指数関数的な高速化が達成可能であることを証明できます。繰り返しになりますが、これらの議論は、量子力学について十分な理解があり、巨視的な量子状態の制御を妨げる魔法の未知の理論的障壁はないという信念に依存しています。

計算の複雑さについては、問題の難易度の下限を取得するのがどれほど難しいかという理由で、量子コンピューターが古典的なコンピューターより優れているという証拠はありません。ただし、量子コンピューターが古典的なコンピューターよりも優れていると思われる設定があります。これらの例の中で最も有名なのは、関数へのブラックボックスを経由してアクセスしていた中でブラックボックスモデルである、あなたがユニーク検索したいのxのためのF 1に評価します。この場合の複雑さの尺度は、fの呼び出し回数です$f:\{0,1\}^n\mapsto \{0,1\}$$x$$f$$f$。古典的には、fに対して平均Ω （2 n）クエリをとるをランダムに推測するよりも良いことはできません。ただし、Groverのアルゴリズムを使用すると、O （$x$$\Omega(2^n)$$f$。$O(\sqrt{2^n})$

さらに証明可能な分離については、下限を証明する方法がわかっている通信の複雑さを調べることができます。量子チャネルを介して通信する2つの量子コンピューターが、2つの古典的なコンピューターよりも少ない通信で達成できるタスクがあります。たとえば、通信の複雑さで最も困難な問題の1つである2つの文字列の内積を計算すると、量子コンピューターを使用する際の速度が向上します。

Artem Kaznatcheevは、一部のタスクについて、量子コンピューターが従来のコンピューターよりも基本的に高速になると予想される主な理由の抜群の要約を提供します。

追加の参考資料が必要な場合は、Scott Aaronsonの量子コンピューティングに関する講義ノートを読むことができます。これは、Shorアルゴリズムと、効率的な量子アルゴリズムを認めるが効率的な古典アルゴリズムを認めないその他のアルゴリズムについて説明しています。

量子コンピューターを実際に構築できるかどうかについては議論があります：BQPは現実の正確なモデルですか、それとも、工学的理由または基本的な物理的障壁のために、量子コンピューターの構築を妨げる可能性があるものですか？他の人が提起した議論をまとめたスコット・アーロンソンの講義ノートを読むことができ、その議論に関する彼の見解で彼のブログ記事を読むこともできます（因子の大きな数など）。

量子コンピューティングの基本構造はユニタリ変換です。これは、文献の多くのアルゴリズムで高速化を実現するための主要なツールです。ユニタリを使用するアルゴリズムは、手元にある問題の数/グラフ理論的特性を使用します-周期発見、量子ウォークの高速化など。指摘されているように、自然の問題の高速化はまだとらえどころのないものです。大量計算を行うこと自体が量子コンピューティングの目的であるかどうかは、未解決の問題です。QNC、NCからの分離など、他の未解決の質問は、量子コンピューターが何をする可能性があるかについて、まだとらえどころのない手がかりを提供する可能性があります。しかし、量子コンピューターの目標が多数を因数分解することである場合、それ自体は将来的には恐ろしい意味合いで（もちろん個人のプライバシーに）まだ実現可能ではないかもしれません！

量子高速化の原因に関するニール・ド・ボードラップのコメントに返信したかったのですが、コメントできません。回答を投稿できるかどうかわかりません。

私の見解では、すべての量子高速化はエンタングルメントによるものです。もつれ状態を使用せずに従来のコンピューターよりも高速に処理できる唯一のアルゴリズムは、2ビットのパリティを計算するためのDeutsch-Jozsaです。漸近的な高速化について議論する場合、エンタングルメントが必要であり、実際にはその多くが必要です。量子アルゴリズムに少量のエンタングルメントが必要な場合、古典的に効率的にシミュレートできます。ファクタリングアルゴリズムとそれが必要とするエンタングルメントの量を具体的に説明している論文http://arxiv.org/abs/quant-ph/0201143を指摘できます。

これは、世界中で数億ドル、あるいは数十億ドルのQMコンピューティング研究イニシアチブを推進しているほぼ同じ中核的な質問です。問題は実験的にも理論的にも同時に攻撃されており、それぞれの側の進歩が反対側に持ち越されています。

質問は、この質問の理論的側面と実用的/実験的側面をきちんと分離しようとしますが、実験者またはエンジニアは、それらが密接に結合されており、不可分であり、挑戦に関するこれまでの歴史的進歩はその証拠/証拠であると主張します

次の点は、人気コンテストには勝てないことは確かです（否定的な結果が科学的にほとんど報告されないというよく知られた/観察されたバイアスに起因する可能性があります）が、さまざまな信頼できる人によって推進された少数派/反対派の意見があることに注意する、エリート研究者でさえも、QMコンピューティングは、克服できない実装の課題により物理的に実現する可能性がありますが、これは不可能です。（そして、いくつかは疑問を抱くかもしれないが、「支配的なパラダイム」に疑問を呈するつもりはないことに注意してください）。

現在、理論的および実験的研究の両方でかなり堅実な20年があり、少数派は、これまでの結果は勇気づけられず、光沢がなく、現在でも決定的な否定的な答えに迫っていると主張します。

ネガティブな見解（極端な/痛烈な境界線！）の最も率直な支持者の1人は、Dyakonovですが、それでもすべての角度に基づいて情熱的にケースを主張しています：

• 量子コンピューティングの現状と展望 / Dyakonov

• 量子コンピューティングの展望：非常に疑わしい / Dyakonov

ダイアコノフはほぼ論争的であると非難するかもしれませんが、反対の立場に熱心な信念を持つQMコンピューティング支持者のほぼ対称的な対抗点として機能します（その将来/最終的/不可避の実行可能性についてはほぼ絶対にありません）。（ノイズに基づく）QMコンピューティングに固有の制限を主張するもう1つの主要な理論家は、Kalaiです。ここで、彼とハローとの間の主題に関する広範な議論があります。

• 21世紀の永久運動？

また、数十年の試行と楽観的な早期予測、エネルギー生成核融合実験の最終目標を達成していない別の大規模/複雑な物理プロジェクトに少なくともゆるい類似性を描くことは自然です。