エラー確率が指数関数的に小さいランダム化アルゴリズムはどれですか？

ランダム化アルゴリズムがランダムビットを使用すると仮定します。予想される最低のエラー確率（エラーが0の決定論的アルゴリズムに及ばない）はです。どのランダム化アルゴリズムがこのような最小エラー確率を達成しますか？ $r$ $2^{-\Omega(r)}$

思い浮かぶいくつかの例は次のとおりです。

サンプリングアルゴリズム。たとえば、メンバーシップをチェックできるセットのサイズを推定したい場合。チェックする要素をランダムにランダムにサンプリングする場合、チャーノフ境界は、指数関数的に小さいエラー確率を保証します。
最小スパニングツリーを計算するためのKarger-Klein-Tarjanアルゴリズム。アルゴリズムは確率1/2で各エッジを選択し、サンプル内のMSTを再帰的に見つけます。Chernoffを使用して、2n + 0.1mのエッジがツリーよりも優れている可能性は指数的に低いと主張できます（つまり、ツリーのエッジの1つよりもエッジを優先する）。

他の例を考えていただけますか？

以下のAndrasの回答に従ってください：実際、すべての多項式時間アルゴリズムは、指数関数的に小さいエラー確率で、より遅い多項式時間アルゴリズムに変換できます。私の焦点は、可能な限り効率的なアルゴリズムにあります。特に、私が挙げた2つの例には、問題を解決する決定論的な多項式時間アルゴリズムがあります。ランダム化アルゴリズムへの関心は、その効率によるものです。

randomized-algorithms

— ダナ・モシュコヴィッツ
ソース

完全な答えではありませんが、ランダム化された数値線形代数にはいくつかの研究があります。youtube.com/watch?v=VTroCeIqDVc

— ベビードラゴン

おそらくそれを期待することはできないかもしれませんが、すべての実数

c

$c\hspace{-0.02 in}$ 、

c < 1

$\: c<1 \:$ その後、アルゴリズムがあります

$\hspace{.34 in}$ エラー確率は

2^{- c \cdot r}

$2^{-\hspace{.01 in}c\cdot r}\hspace{-0.03 in}$ 。

$\:$ 多項式識別テストはこのような問題だと思います。

$\hspace{.49 in}$

@RickyDemerあなたのコメントがわかりません。PITの通常のランダム化アルゴリズムには、ランダム性の指数関数ではないエラーがあります。それで、あなたは何を言っているのですか？BPPの問題に対してこのようなアルゴリズムが存在する可能性があると言っていますか？

— サショニコロフ

PITが説明したクラスに属していることを示す方法が実際にはないことがわかりました。

$\:$ 一方、

を

超多項式にする（つまり、length（S）をlength（d）で超線形にする）と、Schwartz-Zippel補題で十分です。

S

$S$

d

$d$

$\:$ （続き...）

$\;\;\;\;$

多くのprobabilsiticメソッドの構築には、このような動作がありますか？たとえば、バイナリ文字列のランダムなセットを選択し、それらの最も近いペアを探します

より小さい距離に2つの文字列がある確率は非常に小さいです。-------------------------------------------------- -----------------------以下のBPP回答の精神では、頂点がn個、マークされた頂点が

個の、一定の次数のエキスパンダーが与えられた場合、長さのランダムウォークの確率

マークされた頂点を欠場することがある

、もし

n / 4

$n/4$

n / 2

$n/2$

O (t)

$O( t )$

2^{- Ω (t)}

$2^{-\Omega(t)}$

。

t = Ω (\log n)

$t = \Omega( \log n)$

— サリエルハーペレド

回答:

ImpagliazzoとZuckermanは、BPPアルゴリズムがランダムビットを使用して少なくとも2/3の正解確率を達成し、それから展開グラフにランダムウォークを適用すると、正解確率に改善できることを証明しました（FOCS'89、こちらを参照）、用いランダムビット。（注：著者は要約で特定の定数2/3を使用していますが、1/2より大きい他の定数に置き換えることができます。） $r$ $1-2^{-k}$ $O(r+k)$

我々が取る場合、ことをこの手段任意の定数エラー確率達成BPPアルゴリズム使用して、ランダムビットは、（非自明）することができる誤り確率有するように改善。このように、（I誤解何かない限り）、の誤り確率のために達成可能であるすべての BPP問題。 $k=r$ $< 1/2$ $r$ $2^{-\Omega(r)}$ $\leq 2^{-\Omega(r)}$

— アンドラス・ファラゴ
ソース

このような増幅技術の問題は、アルゴリズムの速度が低下することです。新しいアルゴリズムはO（r）ランダムビットのみを使用できますが、実行時間はr回（元の実行時間）です。たとえば、rが入力サイズn（通常は）で少なくとも線形である場合、アルゴリズムを係数nだけ遅くします。それは、ほとんどのアルゴリズム主義者が満足するものではありません...

— ダナMoshkovitz

これがあなたが探しているものかどうかはわかりませんが、関連しています：

$k$ $k$ $t$ $p_{k,t}$

$t$ $4^{-t}$

p_{k, t} \leq O (k \cdot 4^{- t}) .

$p_{k,t} \leq O(k\cdot 4^{-t}).$

$t=1$

p_{k 、 1} \leq 2^{- （ 1 - o （ 1 ） ） \frac{k \ln \ln k}{\ln k}} \leq 2^{- \overset{〜}{Ω} （ k ）} 。

$p_{k,1} \leq 2^{-(1-o(1))\frac{k \ln\ln k}{\ln k}} \leq 2^{-\tilde\Omega(k)}.$ つまり、テストを1回繰り返すだけで、指数関数的に小さな故障確率が得られます。

詳細については、Erdösand Pomerance（1986）、Kim and Pomerance（1989）、およびDåmgard、Landrock、and Pomerance（1993）を参照してください。

これは決定の問題ではなく、使用されるランダム性の量は $O(k^2)$ ビット（これは簡単に減らすことができると思いますが $O(k)$ ）。ただし、これは、指数関数的に小さな故障確率が自然に得られる興味深い例です。

— トーマスがモニカをサポート
ソース