禁止されたサブシーケンスを持つ順列

ましょう表す集合およびC（n、k）は、繰り返しのない要素のすべての組み合わせのセットを示します。ましょうである中のタプル。順列 $[n]$ $\{1,...,n\}$ $k$ $[n]$ $p= p_1p_2...p_k$ $k$ $C(n,k)$ セットのことを回避する整数のないKタプルが存在しない場合 $\pi:[n]\rightarrow [n]$ $[n]$ $p$ ように $i_1<i_2<...<i_k$

π (i_{1}) = p_{1}, π (i_{2}) = p_{2}, . . ., π (i_{k}) = p_{k} .

$\pi(i_1) = p_1, \;\;\pi(i_2)=p_2,\;\; ...,\;\;\pi(i_k) = p_k.$

たとえば、場合、順列はサブシーケンスとしてを回避しますが、順列は回避しません。 $n=5$ $12453$ $134$ $\mathbf{1}2\mathbf{3}5\mathbf{4}$

質問：みましょう一定です。集合所与のタプル、置換見つける各回避中にタプル。 $k$ $S\subset C(n,k)$ $k$ $\pi:[n]\rightarrow [n]$ $k$ $S$

この問題のための多項式であるアルゴリズムはありますかおよび？ここで、は単項で与えられます。時間内に実行されるアルゴリズムは問題ありません。 $|P|$ $n$ $n$ $n^{f(k)}|P|^{g(k)}$
または、この問題はNP完全ですか？

この問題の参照、またはアルゴリズムの提案は歓迎します。上記で定義された置換回避サブシーケンスの概念は、要素の相対的な順序のみが重要であり、組み合わせ論でよく研究されているように見える置換回避パターンの概念と同じではないことに注意してください。

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— マテウス・デ・オリベイラオリベイラ
ソース

順列をランダムに取り、それがSの制約に違反していないかどうかを検証するということですか？ランダム化された多項式時間アルゴリズムは、何もしないよりも優れています。kは定数であると想定されるため、定義上は小さいです。しかし、Sに多くの制約がある場合、どのように効率的に機能するかわかりません。Davidの答えでは、問題はk = 3のNPCであるため、ランダム化されたアルゴリズムが効率的であることには少し懐疑的です。あなたの考えを少し説明してもらえますか？

— マテウスデオリベイラオリベイラ

申し訳ありませんが、禁止されているタプルのセットがあることを見落としていました。拒否サンプリングが効率的であるという保証はありません。

— DW

betweennessからの削減により、の場合はNP完全です。betweenness問題では、アイテムが完全に順序付けられ、トリプルの1つのアイテムが他の2つのアイテムの間にあることを強制するアイテムのトリプルに関する制約が与えられます。あなたの問題では、中央の要素を中央に配置しない3つの要素のすべてのサブシーケンスを禁止することで、同じ制約を強制することができます。しかし、BetweennessはNP完全であることが知られています。J。Opatrny、Total ordering problem、SIAM J. Comput。を参照してください。、8（1979）、111〜114ページ。 $k=3$ $n$

— デビッド・エップスタイン
ソース