解の数に準多項式限界がある完全な問題

FewPは、（入力サイズの）解の数に多項式限界がある $NP$ 問題のクラスです。は既知の $NP$ 完全問題はありません。この観察をどこまで拡大できるか興味があります。 $fewP$

解（証人）の数に準多項式の上限がある自然な $NP$ 完全問題はありますか？そのような可能性を排除する広く受け入れられている推測はありますか？

自然とは、問題が人工的に作成された問題ではなく（または同様の）質問に答える問題ではなく、人々が独立して問題に関心を持っていることを意味します（Kavehが定義）。

編集：報奨金は、このような自然な $NP$ 完全問題またはそのような問題の存在を除外する合理的な議論に授与されます（広く受け入れられている複雑性理論的推測を使用）。

動機：私の直感では、 $NP$ 完全性が目撃者の数に超多項式（または指数）の下限を課しているということです。

cc.complexity-theory np

約束問題UniqueSATがである

P r o m i s e U P

$\mathsf{PromiseUP}$ （ない同じ

U P

$\mathsf{UP}$ のサブセットである）、

P r o m i s e F e w P

$\mathsf{PromiseFewP}$ （しないと同じ

F e w P

$\mathsf{FewP}$ ）。

— ジョシュアグロチョウ14年

SATのパディングはあなたの質問に答えますか？

— カベ14年

それが全体のポイントです-そうではありません。入力サイズは入力のビット数であり、（疎）3-satインスタンスのサイズは

です。変数の数は入力の1つの側面（パラメーター）にすぎないため、他の問題（グラフの問題など）の場合、目撃者の数を測定する対象を指定する必要があります。たとえば、最大カットの場合、入力グラフには

エッジを含めることができますが、

目撃者のみが存在します（入力サイズが準指数関数的です）。しかし、実際には

観点から測定したいのです。ただし、＃verticesが適切な尺度であることは明らかではありません。

m \log n

$m \log n$

n^{2}

$n^2$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

— ダニエロ

@Kavehはい、あなたはモハマッドが彼の質問で理にかなっているものを考えたと仮定すべきです。また、ご覧のとおり、複雑さの動物園は私の定義に同意しています。一般に、興味深い複雑なクラスでは、入力を多項式で埋めても定義は変わらないはずです。

— domotorp

@downvotersなぜ人々はこの質問をダウン投票するのですか？私は...少なくとも、誰かがそれの理由を与えることができる意味

— domotorp

これは非常に興味深い質問です。

まず、明確な発言。「目撃者の数の上限」は計算問題自体の特性ではなく、問題を決定するために使用される特定の検証者の特性であることに注意してください。問題の特性ですが、チューリングマシンがそれを決定します。したがって、「解の数の上限を持つ問題」と言うのはあまり正確ではなく、場合、すべての問題には、任意の数の解（ゼロを含む、可能なすべての文字列を含む）。 $NP$ $NP$ $P = NP$ $NP$

それで、あなたの質問に対処するために、定義をしなければなりません。、聞かせてのは言う問題の「持って高々ソリューション」であれば、いくつかの定数のあります検証時間など、そのすべての入力長のためとのためにすべての長さの、別個あり $s : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ $NP$ $L$ $s(n)$ $c$ $O(n^c)$ $V$ $n$ $x \in L$ $n$ 長さのようにすべてについて受け入れ、および他のすべての拒否の長さの。 $y_1,\ldots,y_{s(n)}$ $n^c$ $V(x,y_i)$ $i$ $V(x,y)$ $y$ $n^c$

現時点で言えるのはこれだけです：

私が知っているすべての完全な問題（いくつかの自然な検証者によって定義される）には、（同じ検証者で）明らかな対応する完全なカウントバージョンがあります。 $NP$ $\#P$
ために、任意のせいぜい有するベリファイアで定義-complete問題溶液（あるいは溶液）に対応する計数バージョンはおそらくない -complete。 $NP$ $poly(n)$ $2^{n^{o(1)}}$ $\#P$

詳細：が完全で、最大で解を持つ検証者であると仮定します。その後の自然なカウント「決断」バージョン我々はとして定義し、 $L$ $NP$ $V$ $O(n^c)$ $L$

$Count_L(x) := \text{the number of $y$ such that $V(x,y)$ accepts}$

はで計算可能。つまり、へのクエリを持つポリタイム関数です。解決策の数かどうかを決定するためであること最大でありであり、：証人、それが存在する場合、単にの数でありの製造、我々がどの受け入れる知っている最大であることが $FP^{NP[O(\log n)]}$ $O(\log n)$ $NP$ $x$ $k$ $NP$ $y_i$ $V$ $O(n^c)$ . Then we can binary search using this $NP$ problem to compute the exact number of solutions to $L$ .

Therefore, an $NP$ -complete problem of this kind could not be extended to a $\#P$ -complete problem in the usual way, unless $\#P \subseteq FP^{NP[O(\log n)]}$ . This looks unlikely; the whole polynomial time hierarchy would basically collapse to $P^{NP[O(\log n)]}$ .

If you assume $s(n) = 2^{n^{o(1)}}$ in the above, you would still get an unlikely consequence. You would show that $\#P$ can be computed in $2^{n^{o(1)}}$ time with an $NP$ oracle. That's more than enough to prove, for instance, that $EXP^{NP} \neq PP$ and subsequently $EXP^{NP} \not\subset P/poly$ . Not that those separations are unlikely, but it seems unlikely they'd be proved by giving a subexp time $NP$ -oracle algorithm for the Permanent.

By the way, I have said nothing too insightful here. There is almost certainly an argument like this in the literature.

— Ryan Williams
ソース

Indeed it is insightful answer.

— Mohammad Al-Turkistany