理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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Shorのアルゴリズムの2016年の実装は本当にスケーラブルですか？
この質問は、理論上のコンピューターサイエンススタック交換で回答できるため、コンピューターサイエンススタック交換から移行されました。 3年前に移行され ました。 2016年の科学論文「でスケーラブルショアアルゴリズムの実現」[ 1 ]、著者らは、「必須」表1に従って8つの量子ビットよりも少ない場合にのみ5キュービットと15因子の[ 2 ]と[表5 3 ]。8キュービットの要件は、[ 4 ]の末尾にあり、ビット数の因数分解に必要なキュービット数はあり、15の場合はあると述べています。nnn1.5 n + 21.5n+21.5n+21.5 ⋅ 4 + 2 = 81.5⋅4+2=81.5\cdot 4 + 2=8 5量子ビットのみを使用する論文は、アルゴリズムが「M量子ビットに作用するQFTを単一の量子ビットに繰り返し作用する半古典的QFTに置き換える」と述べていますが、アルゴリズムの複雑さに対するこの結果は決して言及されていません。 今があった厳しい批判彼らはショアのアルゴリズムの複雑さの引数はもはや保持している第2節では言わないよう、「スケーラブル」な方法で因数15に主張した紙の。しかし、この批判はどこにも裏付けられておらず、Scienceの論文はShorのアルゴリズムの「スケーラブルな」バージョンとして称賛され続けています。「スケーラブル」Shorアルゴリズムの複雑さは何ですか？ [ 1 ] Monz et al。（2016）科学。巻 351、Issue 6277、pp。1068-1070 [ 2 ] Smolin et al。（2013）自然。499、163–165 [ 3 ] Dattani＆Bryans（2014）arXiv：1411.6758 [ 4 ] Zalka（2008）arXiv：quant-ph / 0601097 …
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ランダムグラフに集中していないグラフパラメーターはどれですか？
多くの重要なグラフパラメーターが、少なくともある確率の範囲でランダムグラフに（強い）集中を示すことはよく知られています。いくつかの典型的な例は、色数、最大クリーク、最大独立集合、最大一致、支配数、固定部分グラフのコピー数、直径、最大次数、選択番号（リストの色付け番号）、Lovasz -number、ツリー幅です。などθθ\theta 質問：例外、つまり、ランダムグラフに集中していない意味のあるグラフパラメーターはどれですか。 編集。 濃度の可能な定義はこれです： してみましょう上のグラフのパラメータである -vertexランダムグラフ。私たちは、それが呼び出す集中すべてのためならば、、それが保持している 確率が指数関数的に1に近づくと、 集中度は強くなります。ただし、異なる間隔で強いが使用されることもあります。これは、収束が縮小間隔で真実のままであり、非常に狭い範囲になる可能性があるという事実を示しています。たとえば、x_nに関するが最小限度であり、その後、エッジ確率のいくつかの範囲についてP、一方が証明することができ XnXnX_nnnnϵ>0ϵ>0\epsilon>0limn→∞Pr((1−ϵ)E(Xn)≤Xn≤(1+ϵ)E(Xn))=1.limn→∞Pr((1−ϵ)E(Xn)≤Xn≤(1+ϵ)E(Xn))=1.\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big((1-\epsilon)E(X_n)\leq X_n \leq (1+\epsilon)E(X_n)\big)=1.XnXnX_nppplimn→∞Pr(⌊E(Xn)⌋≤Xn≤⌈E(Xn)⌉)=1limn→∞Pr(⌊E(Xn)⌋≤Xn≤⌈E(Xn)⌉)=1\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big(\lfloor E(X_n)\rfloor\leq X_n \leq \lceil E(X_n)\rceil\big)=1 は可能な限り最短の間隔です（次数として）整数ですが、期待される値はそうでないかもしれません）。 注：集中ルールから人為的な除外を構築できます。たとえば、グラフのエッジの数が奇数の場合はXn=nXn=nX_n=n、そうでない場合は0とします。これは明らかに集中していませんが、意味のあるパラメーターとは考えません。
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2つの行列についての質問：アダマールv。感度推測の証明における「魔法の1つ」
最近の非常に滑らかな感受性予想の証明は、マトリックスの明示*構造に依存しているAn∈{−1,0,1}2n×2nAn∈{−1,0,1}2n×2nA_n\in\{-1,0,1\}^{2^n\times 2^n}：再帰的に定義され、以下のように A1=(0110)A1=(0110)A_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix} そして、、のためのn≥2n≥2n\geq 2、 An=(An−1In−1In−1−An−1)An=(An−1In−1In−1−An−1)A_{n} = \begin{pmatrix} A_{n-1}&I_{n-1}\\I_{n-1}&-A_{n-1}\end{pmatrix} 特に、参照することは容易であるA2n=nInAn2=nInA_n^2 = n I_nのすべてのためn≥1n≥1n\geq 1。 さて、多分私はあまりこの中に読んでいますが、このルックスは少なくとも構文的に行列の別の有名なファミリーに関連、また、あるアダマール行列、そのH2n∝InHn2∝InH_n^2 \propto I_nと「類似の」スペクトルを有する： H1=(111−1)H1=(111−1)H_1 = \begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix} と、のためのn≥2n≥2n\geq 2、 Hn=(Hn−1Hn−1Hn−1−Hn−1)Hn=(Hn−1Hn−1Hn−1−Hn−1)H_{n} = \begin{pmatrix} H_{n-1}&H_{n-1}\\H_{n-1}&-H_{n-1}\end{pmatrix} 「あいまいに似ているように見える」ことを除いて、2つの間に、おそらく有用な正式な接続はありますか？ 例えば、AnAnA_n超立方体の署名された隣接行列として見る{0,1}n{0,1}n\{0,1\}^nいい解釈（エッジの符号有する(x,b,x′)∈{0,1}n(x,b,x′)∈{0,1}n(x,b,x')\in\{0,1\}^nのパリティでありますプレフィックスxxx）。HnHnH_nアナログはありますか？（これは明らかかもしれません？） ∗∗^*また、非明示的な構成、たとえば一様にランダムな±1±1\pm1行列が目的のスペクトル特性を持っているかどうか疑問に思っていますが、おそらく別の質問を待たなければなりません。
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SATオラクルは多項式時間アルゴリズムの高速化にどの程度役立ちますか？
オラクルへのアクセスは、N P - Pのすべてに対して大幅な超多項式高速化を提供します（セットが空でないと仮定）。しかし、Pがこのoracleアクセスからどれだけの利益を得るかは、あまり明確ではありません。もちろん、Pの高速化は超多項式にすることはできませんが、それでも多項式にすることができます。たとえば、S A Tオラクルを使用すると、それを使用しない場合よりも最短で最短経路を見つけることができますか？劣モジュラ関数の最小化や線形計画法など、より洗練されたタスクはどうですか？彼ら（またはPの他の自然な問題）はS A TSATSATSATNP−PNP−P{\bf NP}-{\bf P}PP\bf PPP\bf PSATSATSATPP\bf PSATSATSAT オラクル？ より一般的には、場合我々は、任意の問題を選ぶことができる、およびそれのためのOracleを使用し、その後に問題のどのPは、スピードアップを見ることができますか？NP−PNP−P{\bf NP}-{\bf P}PP\bf P
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細粒度の複雑性理論におけるこれらの仮説間の関係は何ですか？
複雑性理論は、NP完全性などの概念を介して、比較的効率的な解決策を持つ計算問題と扱いにくい問題を区別します。「きめの細かい」複雑さは、問題を解決するために必要な正確な時間に関して、この定性的な区別を定量的なガイドに絞り込むことを目的としています。詳細については、http：//simons.berkeley.edu/programs/complexity2015をご覧ください。 重要な仮説を次に示します。 ETH： -は、いくつかのに対して時間かかり。S A T 2 δ N δ > 0333SA TSATSAT2δn2δn2^{\delta n}δ> 0δ>0 \delta > 0 SETH：ごとに、変数で -ようながあり、句は時間で解けません。、K 、K S A T 、N 、M 2 （1 - ε ）N P O リットルのy Mε > 0ε>0\varepsilon > 0kkkkkkSA TSATSATnnnmmm2（1 - ε ）N P O LのY m2(1−ε)n poly m2^{(1-\varepsilon)n}~poly~m SETHはETHよりも強く、両方ともよりも強く、両方ともよりも強いことが知られてい。F …
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平面グラフのツリー幅の計算の複雑さを判断することはまだ可能ですか？
定数を、一方は入力グラフが与えられると、線形時間で決定することができるGそのかどうか、ツリー幅がある≤ K。ただし、kとGの両方が入力として与えられる場合、問題はNP困難です。（ソース）。k∈Nk∈Nk \in \mathbb{N}GGG≤k≤k\leq kkkkGGG ただし、入力グラフが平面の場合、複雑さについてはあまり知られていないようです。問題が明らかにされたオープンし、2010年にもに登場請求この調査 2007年とに分岐分解のためのWikipediaのページを。反対に、前述の調査の以前のバージョンでは、問題はNPハード（参照の証明なし）であると主張されていますが、これはエラーだと思います。 問題の複雑さを決定することがまだ開いている、所与と平面グラフGは、決定のGをツリー幅有する≤ K？もしそうなら、これは最近の論文で主張されましたか？部分的な結果はわかっていますか？そうでない場合、誰がそれを解決しましたか？k∈Nk∈Nk \in \mathbb{N}GGGGGG≤k≤k\leq k
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準二次時間における正規言語の交差の空虚さの決定
ましょう NFAのことで与えられた2つの正規言語も入力として。L1,L2L1,L2L_1,L_2M1、M2M1,M2M_1,M_2 かどうかを確認したいとします。これは、積オートマトンを計算する2次アルゴリズムによって明らかに行うことができますがもっと効率的なものが知られているのではないかと思っていました。M 1、M 2L1∩ L2≠ ∅L1∩L2≠∅L_1\cap L_2\neq \emptysetM1、M2M1,M2M_1,M_2 かどうかを決定するアルゴリズムはありますか？既知の最速のアルゴリズムは何ですか？L 1 ∩ L 2 ≠ ∅o （n2）o(n2)o(n^2)L1∩ L2≠ ∅L1∩L2≠∅L_1\cap L_2\neq \emptyset
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Cheeger定数は困難ですか？
グラフのチーガー定数を決定することは -hard であると、数え切れないほど多くの記事を読みました。それは民俗定理のように思えますが、この声明の引用も証拠も見つけたことがありません。誰にクレジットを与えるべきですか？古い論文（Isoperimetric Numbers of Graphs、J. Comb。Theory B、1989）で、Moharはこの主張を「複数のエッジを持つグラフについて」だけ証明しています。N PNP\mathsf{NP}
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総当たり検索を使用せずに2つの単語を分離する最小のDFAを見つけますか？
2つの文字列xとyが与えられた場合、xを受け入れ、yを拒否する最小サイズのDFAを作成します。これを行う1つの方法は、ブルートフォース検索です。DFAの最小値から列挙します。xを受け入れ、yを拒否するDFAが見つかるまで、各DFAを試します。 xを受け入れ、yを拒否する最小サイズのDFAを見つけるまたは構築する他の既知の方法があるかどうかを知りたい。言い換えれば、ブルートフォース検索に勝てるでしょうか？ より詳しく： （1）アルゴリズムは、最小サイズに近いDFAではなく、最小サイズのDFAを見つける必要があります。 （2）最小DFAの大きさを知りたいだけではありません。 （3）ここでは、2つの文字列xとyがある場合にのみ焦点を当てています。 編集： 興味のある読者のための追加情報： 仮定及び最大でも長さのバイナリ文字列である。最大状態でを受け入れ、を拒否するDFAが存在することは既知の結果です。バイナリアルファベットと最大で状態の約 DFA があることに注意してください。したがって、ブルートフォースアプローチでは、を超えるDFA を列挙する必要はありません。したがって、ブルートフォースアプローチは時間よりも長くかかることはありません。、Y nがxはyと√バツxxyyynnnバツxxyyyのn √n−−√n\sqrt{n} √nn√nnn^{\sqrt{n}}のn √n−−√n\sqrt{n}のn √nn√nnn^{\sqrt{n}}nn√nnn^{\sqrt{n}} 参考になったスライド：https : //cs.uwaterloo.ca/~shallit/Talks/sep2.pdf
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結合木問題のランダム化されたクエリの複雑さ
チャイルズらによる2003年の重要な論文。「結合木問題」を導入しました。これは、私たちが知っているような他のどのような問題とも異なる指数関数的量子高速化を認める問題です。この問題では、次の図のような指数関数的に大きなグラフが与えられます。これは、深さがnの2つの完全な二分木で構成され、その葉はランダムサイクルで互いに接続されています。ENTRANCE頂点のラベルが提供されます。また、任意の頂点のラベルを入力として与え、その隣接のラベルを伝えるオラクルも提供されます。私たちの目標は、EXIT頂点を見つけることです（これは、ENTRANCE頂点以外のグラフ内の唯一の次数2の頂点として容易に認識できます）。ラベルは長いランダムな文字列であると想定できるため、圧倒的な確率で、ENTRANCE頂点以外の頂点は、oracleによって与えられます。 チャイルズら。クォンタムウォークアルゴリズムは、このグラフを簡単にたどり、poly（n）ステップ後にEXIT頂点を見つけることができることを示しました。対照的に、彼らはまた、任意の古典的なランダム化アルゴリズムが高い確率でEXIT頂点を見つけるためにexp（n）ステップを必要とすることを示しました。彼らは下限をΩ（2 n / 6）と述べたが、彼らの証明を詳しく調べるとΩ（2 n / 2）が得られると思う。直感的には、これは圧倒的な確率で、グラフ上のランダムウォーク（自己回避ウォークなど）が指数関数的な時間にわたって広大な中間領域で立ち往生するためです。 、EXITから離れる方向に向いている非常に多くのエッジは、それを中央に向かって押し戻す「反発力」として機能します。 彼らが議論を形式化した方法は、それが〜2 n / 2の頂点を訪れるまで、ランダム化されたアルゴリズムがグラフ内でサイクルを見つけさえしないことを示すことでした：今まで見られた誘導部分グラフは、 EXIT頂点の位置に関する情報。 この問題のランダム化されたクエリの複雑さをより正確に特定することに興味があります。私の質問はこれです： 誰でも〜2 n未満のステップでEXIT頂点を見つける古典的なアルゴリズムを思いつくことができますか？---たとえば、O（2 n / 2）、またはO（2 2n / 3）で？あるいは、誰かがΩ（2 n / 2）より良い下限を与えることができますか？ （誕生日の逆説では、O（2 n / 2）ステップ後のグラフでサイクルを見つけるのは難しくありません。問題は、EXIT頂点がどこにあるかについての手がかりを得るためにサイクルを使用できるかどうかです。） 誰かがΩ（2 n / 2）を超えて下限を改善できるなら、私の知る限り、これはランダムなクエリの複雑さが√Nより大きい指数量子高速化を伴うブラックボックス問題の最初の証明可能な例を提供します。（N〜2 nは問題のサイズです。） 更新： Andrew Childsから、このノートでは、FennerとZhangが、結合ツリーのランダム化された下限をΩ（2 n / 3）に明示的に改善することを学びました。彼らが（指数関数的に小さな）成功確率ではなく、一定の受け入れ確率を受け入れるなら、Ω（2 n / 2）までさらに限界を改善できると思います。
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仕事の証明としての結び目認識
現在、ビットコインにはSHA256を使用したproof of work（PoW）システムがあります。他のハッシュ関数は、グラフ、部分ハッシュ関数の反転を使用する作業システムの証明を使用します。 結び目認識などの結び目理論で決定問題を使用し、それを仕事関数の証明にすることは可能ですか？また、誰もこれを以前にやったことがありますか？また、このProof of Work関数があると、現在計算されているものよりも便利になりますか？
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多項式でORを表す
私は、変数のOR関数が、多項式で次のように正確に表現できることを知っています： 、次数です。nnnx1,…,xnx1,…,xnx_1,\ldots, x_np(x1,…,xn)p(x1,…,xn)p(x_1,\ldots,x_n)p(x1,…,xn)=1−∏ni=1(1−xi)p(x1,…,xn)=1−∏i=1n(1−xi)p(x_1,\ldots,x_n) = 1-\prod_{i = 1}^n\left(1-x_i\right)nnn しかし、がOR関数を正確に表す多項式である場合（つまり、）、次に？ppp∀x∈{0,1}n:p(x)=⋁ni=1xi∀x∈{0,1}n:p(x)=⋁i=1nxi\forall x \in \{0,1\}^n : p(x) = \bigvee_{i = 1}^n x_ideg(p)≥ndeg⁡(p)≥n\deg(p) \ge n
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多項式サイズのDFAで認識される言語
固定有限アルファベット場合、正確にを受け入れる上の決定性有限オートマトン（DFA）が存在する場合、上の形式言語は正規です。ΣΣ\SigmaLLLΣΣ\SigmaΣΣ\SigmaLLL 私は、語長で多項式的にのみ成長するサイズのオートマタ族によって認識できるという意味で「ほぼ」規則的な言語に興味があります。 正式に、すべての単語に対して、成り立つ場合、形式言語はDFA ファミリーによって認識されます 、はあり、受け入れる場合（他の受け入れるかどうかに関係なく）、p-regular言語を、PTIMEで計算可能な多項式サイズのDFAファミリーによって認識される言語として定義させます。ような多項式すべてのLLL (An)(An)(A_n)w∈Σ∗w∈Σ∗w \in \Sigma^*n=|w|n=|w|n = |w|wwwLLLAnAnA_nwwwAiAiA_iP | A n | ≤ P （N ）N(An)(An)(A_n)PPP|An|≤P(n)|An|≤P(n)|A_n| \leq P(n)nnn。（この名前 "p-regular"は私が作ったものです。私の質問は、これに別の名前が既に存在するかどうかを知ることです。これは置換オートマトンの意味でp-regular言語と同じではないことに注意してください。） P-正規言語のこのクラスは、もちろん正規言語は、（単に取るすべてのためのn、Aは正規言語を認識するいくつかのDFAです）。例えば、そのよく知られている：それは、それの完全なスーパーセットである{ n個のB N | N ∈ Nは }（文脈自由ではなく規則的であるが、それは、P-正規であるA NだけカウントしなければNを出現とNの出現B）。ただし、オートマトンは多項式サイズのDFAである必要があるためAn=AAn=AA_n = AnnnAAA{anbn∣n∈N}{anbn∣n∈N}\{a^n b^n \mid n \in \mathbb{N}\}AnAnA_nnnnaaannnbbb、一部の形式言語（実際には一部のコンテキストフリー言語）はp-regularではありません。たとえば、palindromesの言語はp-regularではありません。なぜなら、直感的に、単語の前半を読んだときに、この前半と後半を正確に一致させる必要があるため、可能な限り多くの異なる状態。 そのため、p-regular言語のクラスは、コンテキストフリー言語とは比べものにならない通常の言語の厳密なスーパーセットです。実際には、あなたも、多項式の最小の程度に基づいたp-正規言語を区別することにより、言語の階層を得ることができるものと思わ彼らはそのためのP -regular。この階層が厳密であることを示すために例を作成するのはそれほど難しくありません。ただし、これと、A nの計算の複雑さを制限する階層の代替定義との間の相互作用については、まだよく理解していません。PPPPPPAnAnA_n 私の質問は次のとおりです。p-regularと呼ばれるこのクラス、および関連する階層は以前に研究されたことがありますか？はいの場合、どこで、どの名前の下に？ （可能なリンクは、フィールドまたはストリーミング、またはオンラインアルゴリズムです。言語認識問題のストリーミングアルゴリズムの用語では、決定論的なワンパス認識アルゴリズムを持つことができる言語のクラス（または階層）に興味があります。多項式の状態数（つまり対数メモリサイズ）を使用しますが、この論文または関連論文でこのクラスの定義を見つけられませんでした。ただし、問題の表現では、単語の長さは事前にわかっています。ストリーミングコンテキストに少ない自然れている：あなたのストリーミングで読んだ後に到達可能な状態の数という無限オートマトン、特別な「エンド・オブ・言葉」のシンボル、および制約としてこれを見ることができたの文字が多項式であるn個nnnnnn。私はこの区別が違いを生む可能性があると考えています：値が長さで割り切れるバイナリワードの言語は、固定長では簡単ですが、（私は推測します）以前の意味では無限オートマトンでは表現できないため、識別がありません長さが事前にわからない場合は作成できます。） （このp-regularクラスの動機は、確率的単語の言語メンバーシップの確率などのいくつかの問題が、言語が規則的であるときだけでなく、p-regularであるときにもPTIMEであるように見えることです。どのような状況でこれらの問題が扱いやすいかを正確に特徴付けるため）
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EXPSPACEの完全な問題
私は現在、EXPSPACEの完全な問題を見つけようとしています（主に削減のインスピレーションを見つけるためです）。 これまでのところ、私はこれらを見つけましたが、リストを拡大するのに苦労しています： べき乗を伴う正規表現の普遍性（またはその他のプロパティ）。 ベクトル加算システムに関連する問題 観察できないゲーム（たとえば、このブログを参照） FO-LTLの一部、1次線形時相論理の決定可能なフラグメントの計算上の複雑さについて EXPSPACEの完全性が自然に現れるとき、他のコンテキストを知っていますか？
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なぜハミルトニアンサイクルはパーマネントとそれほど違うのですか？
多項式f(x1,…,xn)f(x1,…,xn)f(x_1,\ldots,x_n)は、m = poly （n ）の場合、多項式g （y 1、… 、y m）の単調な投影であり、代入 πがあります：{ y 1、… 、Y 、M } → { X 1、... 、X nは、0 、1g(y1,…,ym)g(y1,…,ym)g(y_1,\ldots,y_m)mmm(n)(n)(n)π:{y1,…,ym}→{x1,…,xn,0,1}π:{y1,…,ym}→{x1,…,xn,0,1}\pi:\{y_1,\ldots,y_m\}\to\{x_1,\ldots,x_n, 0,1\} ようにf(x1,…,xn)=g(π(y1),…,π(ym))f(x1,…,xn)=g(π(y1),…,π(ym))f(x_1,\ldots,x_n)=g(\pi(y_1),\ldots,\pi(y_m))。つまり、結果の多項式が fと一致するように、 gの各変数yjyjy_jを変数 x iまたは定数 0または 1で置き換えることができます。 gggxixix_i000111fff 永久多項式PERとハミルトニアンサイクル多項式HAMの違い（理由）に興味があります： PERn(x)=∑h∏i=1nxi,h(i) and HAMn(x)=∑h∏i=1nxi,h(i)PERn(x)=∑h∏i=1nxi,h(i) and HAMn(x)=∑h∏i=1nxi,h(i) \mbox{PER}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}\ \ \ \ \mbox{and} \ \ \ \ \mbox{HAM}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)} ここで、最初の合計はすべての順列hに対するもの です：[であり、2番目はすべての循環順列 hのみです：[ …
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