総当たり検索を使用せずに2つの単語を分離する最小のDFAを見つけますか？

2つの文字列xとyが与えられた場合、xを受け入れ、yを拒否する最小サイズのDFAを作成します。これを行う1つの方法は、ブルートフォース検索です。DFAの最小値から列挙します。xを受け入れ、yを拒否するDFAが見つかるまで、各DFAを試します。

xを受け入れ、yを拒否する最小サイズのDFAを見つけるまたは構築する他の既知の方法があるかどうかを知りたい。言い換えれば、ブルートフォース検索に勝てるでしょうか？

より詳しく：

（1）アルゴリズムは、最小サイズに近いDFAではなく、最小サイズのDFAを見つける必要があります。

（2）最小DFAの大きさを知りたいだけではありません。

（3）ここでは、2つの文字列xとyがある場合にのみ焦点を当てています。

編集：

興味のある読者のための追加情報：

仮定及び最大でも長さのバイナリ文字列である。最大状態でを受け入れ、を拒否するDFAが存在することは既知の結果です。バイナリアルファベットと最大で状態の約 DFA があることに注意してください。したがって、ブルートフォースアプローチでは、を超えるDFA を列挙する必要はありません。したがって、ブルートフォースアプローチは時間よりも長くかかることはありません。 $x$ $y$ $n$ $x$ $y$ $\sqrt{n}$ $n^{\sqrt{n}}$ $\sqrt{n}$ $n^{\sqrt{n}}$ $n^{\sqrt{n}}$

参考になったスライド：https : //cs.uwaterloo.ca/~shallit/Talks/sep2.pdf

automata-theory dfa fsm

— マイケル・ウェハール
ソース

@AndrásSalamon区別されるセットがそれぞれ1つの文字列のみで構成されている場合、NP完全ですか？これはかなり扱いやすいはずだと感じています。

— ムム

@mhum 2つの文字列を分離する多くの異なる標準言語があるという問題— DFA最小化は、これらの言語のいずれかに対して最適なオートマトンを見つけますが、他の分離言語のオートマトンと比較することはありません。

— デビッドエップスタイン

場合

と

長さの大きい方と異なる長さである

迅速に有するDFA見つけ、それは容易である

それらを分離状態：ちょうど長さのサイクル使用

、

分裂しないが

。検索

試みることによって

あなたは適切な見つけるまで順番に

。場合

と

、同じ長さ、次いで、

x

$x$

y

$y$

n

$n$

O (\log n)

$O(\log n)$

p

$p$

p

$p$

| x | - | y |

$|x|-|y|$

p

$p$

2, 3, 5, \dots

$2, 3, 5,\ldots$

p

$p$

x

$x$

y

$y$

Robsonの構築は、1996年の論文で、サイズ

検索で見つけることができる単純なマシンを提供します。どちらの構造も最小のDFAであるとは限りません。

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

O (n)

$O(n)$

— ジェフリーシャリット

上にリンクされているShallitのメモには、分離問題の最悪のケースはアルファベットがバイナリであるという有用な観察が含まれています：大きなアルファベットを2つの入力単語を区別する2つのサブセットに分割し、処理するバイナリオートマトンを検索することは常に可能です1つのサブセットの文字を0として、もう1つのサブセットの文字を1として。しかし、最小の分離オートマトンを求める場合、これは役に立たないようです。元のアルファベットの追加情報を使用して、バイナリアルファベットへのマッピングよりも優れた機能を発揮できる可能性があるためです。

— デビッドエップシュタイン

インセットとアウトセットのサイズが1に等しいこの他の最近の質問の特殊なケース。インワードとアウトワードを与えられた最小有限オートマトン。その答えは、いくつかの発見的手法を含むいくつかの学習文献をリストしています。

— vzn

実際にこれを行う必要がある場合は、SATソルバーを使用します。

を受け入れ、を拒否する状態のDFAがあるかどうかの問題は、SATインスタンスとして簡単に表現できます。たとえば、1つの方法は、ブール変数を持つことです。入力ビット DFAが状態から状態に遷移する場合、はtrueです。これはDFAであることを強制するためにいくつかの句を追加し、いくつかの変数との句は、それが受け入れることを強制するためにと不良。 $k$ $x$ $y$ $2k^2$ $z_{s,b,t}$ $s$ $t$ $b$ $x$ $y$

今すぐにバイナリ検索を使用するの最小見つけるために、この種のDFAが存在するようにします。関連する問題に関する論文で私が読んだものに基づいて、これは実際には合理的に効果的であると期待します。 $k$ $k$

これをSATとして他のエンコードも可能です。たとえば、トレースエンコーディングを使用できます。

場合、長さのある、あなたが追加することができますブール変数：LET の入力にトラバース状態のシーケンスである、およびそれぞれを表す使用してブール変数を。 $x$ $m$ $m\lg k$ $s_0,s_1,\dots,s_m$ $x$ $s_i$ $\lceil \lg k \rceil$
ここで、であるようなごとに、という制約があります。 $i,j$ $x_i=x_j$ 。 $s_{i-1}=s_{j-1} \implies s_i=s_j$
次に、処理するために、これを延ばす：せの入力にトラバース状態のシーケンスである、および各表現用いて、ブール変数。であるようなごとに、という制約を追加します。 $y$ $t_0,\dots,t_n$ $y$ $t_j$ $\lg k$ $i,j$ $y_i=y_j$ 。 $t_{i-1}=t_{j-1} \implies t_i=t_j$
同様に、である各に対して、という制約を追加します。 $i,j$ $x_i=y_j$ 。 $s_{i-1}=t_{j-1} \implies s_i=t_j$
両方のトレースは同じ開始点から開始する必要があるため、（WLOGでは要求できます）という要件を追加します。 $s_0=t_0$ $s_0=t_0=0$
DFAでのみ使用することを確実にするためにの状態を、必要とするとすべてのための。 $k$ $0 \le s_i < k$ $0 \le t_j <k$ $i,j$
最後に、が受け入れられ、が拒否されるという要件をエンコードするには、ことを要求します。 $x$ $y$ $s_m \ne t_n$

これらの要件はすべて、SAT句としてエンコードできます。

前と同様に、バイナリ検索を使用して、そのようなDFAが存在する最小のを見つけます。 $k$ $k$

— DW
ソース

問題に特定の対称性があり、ソルバーによって認識されている場合、これは実際にブルートフォース検索よりも優れていますが、現在それらを特定/分離するのは難しい場合があります（人間または機械のいずれか）。また、充足可能性モジュロ理論の新しい/関連する「テクノロジー」と回答セットプログラミングもあり、その一部は「組み込み」グラフ述語を持っているか、その定義をサポートできます。

— vzn