多項式サイズのDFAで認識される言語

固定有限アルファベット場合、正確にを受け入れる上の決定性有限オートマトン（DFA）が存在する場合、上の形式言語は正規です。 $\Sigma$ $L$ $\Sigma$ $\Sigma$ $L$

私は、語長で多項式的にのみ成長するサイズのオートマタ族によって認識できるという意味で「ほぼ」規則的な言語に興味があります。

正式に、すべての単語に対して、成り立つ場合、形式言語はDFA ファミリーによって認識されます、はあり、受け入れる場合（他の受け入れるかどうかに関係なく）、p-regular言語を、PTIMEで計算可能な多項式サイズのDFAファミリーによって認識される言語として定義させます。ような多項式すべての $L$ $(A_n)$ $w \in \Sigma^*$ $n = |w|$ $w$ $L$ $A_n$ $w$ $A_i$ $(A_n)$ $P$ $|A_n| \leq P(n)$ $n$ 。（この名前 "p-regular"は私が作ったものです。私の質問は、これに別の名前が既に存在するかどうかを知ることです。これは置換オートマトンの意味でp-regular言語と同じではないことに注意してください。）

P-正規言語のこのクラスは、もちろん正規言語は、（単に取るすべてのため、正規言語を認識するいくつかのDFAです）。例えば、そのよく知られている：それは、それの完全なスーパーセットである（文脈自由ではなく規則的であるが、それは、P-正規であるだけカウントしなければ出現との出現）。ただし、オートマトンは多項式サイズのDFAである必要があるため $A_n = A$ $n$ $A$ $\{a^n b^n \mid n \in \mathbb{N}\}$ $A_n$ $n$ $a$ $n$ $b$ 、一部の形式言語（実際には一部のコンテキストフリー言語）はp-regularではありません。たとえば、palindromesの言語はp-regularではありません。なぜなら、直感的に、単語の前半を読んだときに、この前半と後半を正確に一致させる必要があるため、可能な限り多くの異なる状態。

そのため、p-regular言語のクラスは、コンテキストフリー言語とは比べものにならない通常の言語の厳密なスーパーセットです。実際には、あなたも、多項式の最小の程度に基づいたp-正規言語を区別することにより、言語の階層を得ることができるものと思わ彼らはそのため -regular。この階層が厳密であることを示すために例を作成するのはそれほど難しくありません。ただし、これと、の計算の複雑さを制限する階層の代替定義との間の相互作用については、まだよく理解していません。 $P$ $P$ $A_n$

私の質問は次のとおりです。p-regularと呼ばれるこのクラス、および関連する階層は以前に研究されたことがありますか？はいの場合、どこで、どの名前の下に？

（可能なリンクは、フィールドまたはストリーミング、またはオンラインアルゴリズムです。言語認識問題のストリーミングアルゴリズムの用語では、決定論的なワンパス認識アルゴリズムを持つことができる言語のクラス（または階層）に興味があります。多項式の状態数（つまり対数メモリサイズ）を使用しますが、この論文または関連論文でこのクラスの定義を見つけられませんでした。ただし、問題の表現では、単語の長さは事前にわかっています。ストリーミングコンテキストに少ない自然れている：あなたのストリーミングで読んだ後に到達可能な状態の数という無限オートマトン、特別な「エンド・オブ・言葉」のシンボル、および制約としてこれを見ることができたの文字が多項式である $n$ $n$ 。私はこの区別が違いを生む可能性があると考えています：値が長さで割り切れるバイナリワードの言語は、固定長では簡単ですが、（私は推測します）以前の意味では無限オートマトンでは表現できないため、識別がありません長さが事前にわからない場合は作成できます。）

（このp-regularクラスの動機は、確率的単語の言語メンバーシップの確率などのいくつかの問題が、言語が規則的であるときだけでなく、p-regularであるときにもPTIMEであるように見えることです。どのような状況でこれらの問題が扱いやすいかを正確に特徴付けるため）

— a3nm
ソース

ああ、私は

計算可能性の問題を適切に考えていませんでした。これを指摘してくれてありがとう。計算可能という要件を追加しました。計算可能ではあるが複雑度の高い

ファミリーを採用する必要があるp正規言語の悪い状況がないことを願っていますか？

(A_{n})

$(A_n)$

(A_{n})

$(A_n)$

— a3nm

OK、「計算できない」コメントを削除しました。しかし、たとえ計算制約とあなたはまだのような奇妙な取得することができます：選ぶ

と

（NEXP完全である

そう）。おそらく、

が多項式時間で計算可能でなければならないという制約を追加してさらに制限できますか？！？

A_{n} = {1^{n} ∣ n \in B}

$A_n = \{ 1^n \mid n \in B \}$

B

$B$

A_{n} = \emptyset

$A_n = \emptyset$

A_{n}

$A_n$

— マルツィオデビアージ

マルツィオ：ああ、あなたは正しい。私の動機のために、正しい概念は

がPTIME計算可能であるということです、はい、これに変更しました...それでも、

計算の複雑さがそのような影響を与えることを少し気にします結果のクラス（これは、定義で行う必要がある追加の選択であることを意味するため...）。これはまた、私が考えていた階層の図を複雑にします。

A_{n}

$A_n$

(A_{n})

$(A_n)$

— a3nm

計算不可能性の何が問題なのかわかりません。定義するのは、多くの回路クラスのような不均一な言語クラスです。

— domotorp

ログスペースの均一性条件を強化すると、そのような言語はすべてログスペースで計算可能になります。与えられた定義では、すべてのp-regular言語は「P-uniform L」（分岐プログラムのP-uniformファミリ、またはptimeで計算可能なアドバイスを含むログスペースTMで認識可能）にあります。

— エミールイェジャベクはモニカをサポートします

質問はあまり研究されていないようです（1つの可能性は、P / polyなどの「近くの」複雑度クラスとの関係を見つけようとすることです）。ただし、それに触れる少なくとも1つのrefがあります。

多項式サイズの正規表現 Gruber / Holzerを使用した言語操作

この作業では、正規性を保持する言語操作が正規表現の記述の複雑さにどの程度影響するかに関する質問を扱います。演算の結果をオペランドのサイズ多項式の正規表現として表現できるという意味で、正規表現に適したいくつかの言語演算が識別されます。通常のセットの言語商、特に接頭辞と接尾辞のクロージャを使用すると、必要な式のサイズが最大で2次的に拡大する可能性があることを証明します。循環シフト操作は、サイズの3倍の増加のみを引き起こす可能性があり、最悪の場合、少なくとも2次の膨張が必要になることがあります。

ASが示唆しているように、提起された質問のようなものを研究する他のより自然な方法があるかもしれません。ここに、質問とある程度関係のないサイズの単語の数に基づいて、通常の言語の成長を研究するためのもう少し似た方法があります。 $n$

多項式時間での正規または文脈自由言語の成長率を見つける（Gawrychowski、Krieger、Rampersad、Shallit）

文脈自由言語Lが与えられた場合、それが多項式時間で多項式成長であるか指数関数成長であるかをテストできます。さらに、多項式成長の場合、多項式時間でこの多項式の正確な次数を見つけることもできます。

— vzn
ソース

そこで明示的には述べられていませんが、以下の論文の主な結果の証明は、p-regular言語のクラスが単調NC ^ 1に含まれていないことを意味します。H.グルーバーとJ.ヨハンセン： "コミュニケーションの複雑さを使用した正規表現サイズの最適下限"、FoSSaCS 2008、LNCS 4962、pp。273-286。hermann-gruber.com/data/fossacs08.pdf

— Hermann Gruber

補遺、このPhd論文2010に出くわしたp11 re "小さな言語"に求められるものに似たものを定義する有限オートマトン / Kralovicの複雑性クラス。この全体的な領域の包括的な調査であり、関連する概念の一般的な理論的フレームワーク/抽象化を構築しているようです。ただし、「PサイズDFAファミリ」の特定のクラスに直接関連する多くの定理は見ないでください。

— vzn

@vzn：Kralovicの論文のp11の定義は言語ファミリに関するものであるため、少し異なりますが、私の質問では、さまざまな言語は1つの主要言語のみから取られた固定長の単語です。私があなたが与えるGruberとHolzerの論文との関係のどちらかが定かではありません。私の質問で、オートマトンが一般に規則性を維持する操作の結果であるとどのように考えることができるかわかりません。Gawrychowski et alに関しては、それが正接的に関連している可能性があることに同意します。

— a3nm

Gruber / Holzer refは、「P-regular closure」タイプのプロパティに対するP-regular reductionのアイデアに役立つようです。あなたのdefが他のどの研究とも違うように見えることに同意しました。言い換えれば、これらの問題/クラスのいくつかの間でおそらく削減があり、参照はそれらの方向に進み、defを以前に研究/公開されたクラスに接続する削減のような操作を探すかもしれません（defnは特定のものを意味しないことに同意します削減操作）。多分あなたの質問への厳格な答えをされ、「いいえ、あなたのクラスが正確に研究されていない」

— vzn