Cheeger定数は困難ですか？

グラフのチーガー定数を決定することは -hard であると、数え切れないほど多くの記事を読みました。それは民俗定理のように思えますが、この声明の引用も証拠も見つけたことがありません。誰にクレジットを与えるべきですか？古い論文（Isoperimetric Numbers of Graphs、J. Comb。Theory B、1989）で、Moharはこの主張を「複数のエッジを持つグラフについて」だけ証明しています。$\mathsf{NP}$

として定義されるエッジ拡張の硬さ（またはチーガー定数）への引用を必要とする論文を書いているときに、私もこの問題に遭遇しました。セパレータに関するレイトンとラオの古典的な論文（http://dl.acm.org/citation.cfm?id=331526）は、これは難しい問題であり、Garey、Johnson、Stockmeyerの論文（http：/ /www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397576900591$\min_{S \subset V, |S| \leq |V|/2} |\delta(S)|/|S|$）。言及された論文にはエッジ拡張についての言及がないため、彼らが何を言及していたのかしばらく理解できませんでした。これについてAvi Wigdersonと連絡を取りました。最終的に、Garey等の論文に示されているMax-Cutの硬度を使用して、エッジ拡張が難しいことを比較的簡単に示すことができることが明らかになりました。今は詳細を忘れていますが、再現するのは難しくないはずです。グラフが超濃縮器であるかどうかのチェックの硬さに関するBlum etalの論文は、エッジ拡張の硬さを直接意味するものではありません。技術的には同じ問題ではありません。

の実際の証明-Cheeger定数（またはエッジ展開）の計算のさは、MAX Cut問題からの削減による技術報告書でKaibelによって与えられました（定理2を参照）。証明は、いくつかの簡略化されたNP完全グラフ問題でGarey、Johnson、およびStockmeyerによって与えられた、エクイカット問題の性の証明の拡張です。$NP$$NP$

V.カイベル：0 / 1-ポリトープのグラフの拡張について。テクニカルレポートarXiv：math.CO/0112146、2001

編集：以下の引数は、Chekuriによって指摘され、教育目的のために残されているように間違っています。

これはあなたが要求したような参考文献ではありませんが、硬度結果の民間伝承の状態を説明しています。

接続された立方グラフがエッジ拡張であるかどうかを決定し、したがってチーガー定数決定することがCoNP困難であるかどうかを決定するCoNP完全性の証拠です。$h(G)$

最小二分問題は、 -complete$NP$接続立方体グラフのために。ここでは、整数持つグラフを、カットエッジの数が未満になるように2つの等しいサイズの部分に分割できるかどうかを判断します。$G$$k$$k$

この問題の補数は、グラフがエキスパンダーであるかどうかを決定することに等しいことに注意してください（すべてのバランスの取れたパーティションには、超えるカットエッジがあります）。$G$$V$$k$

このセミナーのPS Aroraは、 -expander graph（エッジ拡張）を認識し CoNPであると述べています。 http://www.cs.princeton.edu/~zdvir/apx11slides/arora-slides.pptx$CoNP$$\alpha$