準二次時間における正規言語の交差の空虚さの決定

ましょう NFAのことで与えられた2つの正規言語も入力として。 $L_1,L_2$ $M_1,M_2$

かどうかを確認したいとします。これは、積オートマトンを計算する2次アルゴリズムによって明らかに行うことができますがもっと効率的なものが知られているのではないかと思っていました。 $L_1\cap L_2\neq \emptyset$ $M_1,M_2$

かどうかを決定するアルゴリズムはありますか？既知の最速のアルゴリズムは何ですか？ $o(n^2)$ $L_1\cap L_2\neq \emptyset$

— RB
ソース

誰かが良いアイデアを持っているなら私に知らせてください、しかし現在それは未解決の問題です。この問題を線形時間で解決できる場合、基本的にnビットのメモリのみを使用する非決定的マシンで解決可能な問題は、時間で決定的に解決できます。

2^{\frac{n}{2}}

$2^{\frac{n}{2}}$

— マイケルウェハ

準2次型に対してはまだ開いていると思います。いくつかの詳細情報：rjlipton.wordpress.com/2009/08/17/...

— マイケルWehar

だから、（マイケルさんのコメントに基づいて）例えば、強い指数時間仮説は、指数は私が...これも指数時間仮説から従うことを証明したと思う2.なければならないことを意味する

— ライアン・ウィリアムズ

RB：あなたがサイズの2つのDFAの虚しさをテストすることができたと時間中と。サイズ DFAがある場合、最初の DFAと残りの DFA の積を作成できます。次いで、時間の空虚のための試験でありますよりも優れています。vzn：この賞を受賞した論文は、このスレッドでコメントした@MichaelWeharによって書かれました。マイケル、時間があるなら、おそらくあなたは答えを提出することができます！

n

$n$

n^{1 + ε}

$n^{1+\varepsilon}$

ε < 1

$\varepsilon < 1$

k

$k$

n

$n$

k / 2

$k/2$

k / 2

$k/2$

(n^{k / 2})^{1 + ε} = n^{\frac{1}{2} k + \frac{ε}{2} k}

$(n^{k/2})^{1+\varepsilon} = n^{\frac{1}{2}k + \frac{\varepsilon}{2}k}$

n^{k}

$n^k$

— マイケルブロンディン

@RyanWilliamsこんにちはRyan、より弱い指数時間仮説は、2つのDFAの交差非空性をより迅速に解決できないことを意味すると考えるようになりますか？他の誰かも私にこれを一度提案しました。:)

— マイケル・ウェハ

簡単な答え：時間でで実行されるより効率的なアルゴリズムが存在する場合、強力な指数時間仮説は反論されます。 $O(n^{\delta})$ $\delta < 2$

私たちはより強力な定理を証明し、それから簡単な答えが続きます。

定理：時間で2つのDFAの交差非空の問題を解決できる場合、nビットのメモリのみを使用して非決定的に解決可能な問題は、で決定的に解決可能です。時間。 $O(n^{\delta})$ $poly(n)\cdot2^{(\delta n/2)}$

正当化：時間で2つのDFAの交差の非空を解決できると仮定します。読み取り専用入力テープと読み取り/書き込みバイナリワークテープを備えた非決定性チューリングマシンMを指定します。長さnの入力文字列xを指定します。Mがバイナリワークテープのnビットを超えるメモリにアクセスしないと仮定します。 $O(n^{\delta})$

入力xでのMの計算は、構成の有限リストで表すことができます。各構成は、状態、入力テープ上の位置、作業テープ上の位置、および作業テープを表す最大nビットのメモリで構成されます。

ここで、作業テープが半分に分割されたと考えてください。換言すれば、我々は、の左セクション有するセルの右部分細胞。各構成は、左の部分と右の部分に分割できます。左の部分は、状態、入力テープ上の位置、作業テープ上の位置、および左セクションのビットで構成されています。右側の部分は、状態、入力テープ上の位置、作業テープ上の位置、および右側のセクションのビットで構成されています。 $\frac{n}{2}$ $\frac{n}{2}$ $\frac{n}{2}$ $\frac{n}{2}$

次に、状態が左のピースであるDFAと状態が右のピースであるDFAを作成します。アルファベット文字は、移動先の状態、テープヘッドの移動方法、ワークテープのアクティブセルの操作方法を示す指示です。 $D_1$ $D_2$

これは、とが入力xでのMの計算に対応する命令のリストを読み取り、一緒になって有効で受け入れられていることを検証するという考え方です。どちらもと常にその情報がその入力文字に含まれているので、テープヘッドがどこにあるかに同意します。したがって、ワークテープの位置が左のピースにある場合に命令が適切であることを確認させ、右のピースにある場合に確認させることができます。 $D_1$ $D_2$ $D_1$ $D_2$ $D_1$ $D_2$

合計で、各DFA にはせいぜい状態があり、せいぜい別個のアルファベット文字があります。 $poly(n) \cdot 2^{n/2}$ $poly(n)$

最初の仮定では、時間で2つのDFAの交差非空を解決できるということです。 $poly(n) \cdot 2^{(\delta n /2)}$

これは役に立つかもしれません：https : //rjlipton.wordpress.com/2009/08/17/on-the-intersection-of-finite-automata/

CNF-SATは、メモリのビットを使用して解くことができます。ここで、kは変数の数です。上記の構成を使用して、時間で2つのDFAの交差の非空を解決できる場合、時間。したがって、単純な答えが成り立ちます。 $k+O(\log(n))$ $O(n^{\delta})$ $poly(n) \cdot 2^{(\delta k/2)}$

コメント、修正、提案、質問を歓迎します。:)

— マイケル・ウェハール
ソース

上記の最初の質問はすべて素晴らしいですが、NFAに関するものでした。それはまだ続いていますか？また、いくつかの重要な詳細は省略されています。紙の価値があるようだ。それとも公開されたもののすべてですか？もしそうであれば、そこに番号付き定理などを引用してください。また、可能であれば、std複雑度クラスL、P、NP、PSpace、ExpTimeなどの観点からこれをすべて述べておくと役立ちます。また、「強い」方向の2方向DFA交差点空虚下限（？）→SETH ...？そのために何を表示する必要がありますか？

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— vzn

VZN様、NFAの交差点の問題は、DFAの交差点の問題よりもやや難しいようです。ただし、 NFAの交差点非空から交差点非空へのパラメータ化された削減があるため、これは当てはまりません

k

$k$

k

$k$ DFAの。これは私の最初の論文で言及されています。

— マイケル・ウィハー

(2 k - 2)

$(2k-2)$

k

$k$

N S p a c e (2 \cdot \log (n)) \subseteq D T i m e (n)

$NSpace(2 \cdot \log(n)) \subseteq DTime(n)$

N S p a c e (2 \cdot \log (n))

$NSpace(2 \cdot \log(n))$

2 \cdot \log (n)

$2\cdot \log(n)$ 双方向読み取り専用入力テープと双方向読み取り/書き込みバイナリワークテープを備えた非決定性チューリングマシン用のスペース。

— マイケル・ウェハ