Shorのアルゴリズムの2016年の実装は本当にスケーラブルですか？

2016年の科学論文「でスケーラブルショアアルゴリズムの実現」[ 1 ]、著者らは、「必須」表1に従って8つの量子ビットよりも少ない場合にのみ5キュービットと15因子の[ 2 ]と[表5 3 ]。8キュービットの要件は、[ 4 ]の末尾にあり、ビット数の因数分解に必要なキュービット数はあり、15の場合はあると述べています。 $n$ $1.5n+2$ $1.5\cdot 4 + 2=8$

5量子ビットのみを使用する論文は、アルゴリズムが「M量子ビットに作用するQFTを単一の量子ビットに繰り返し作用する半古典的QFTに置き換える」と述べていますが、アルゴリズムの複雑さに対するこの結果は決して言及されていません。

今があった厳しい批判彼らはショアのアルゴリズムの複雑さの引数はもはや保持している第2節では言わないよう、「スケーラブル」な方法で因数15に主張した紙の。しかし、この批判はどこにも裏付けられておらず、Scienceの論文はShorのアルゴリズムの「スケーラブルな」バージョンとして称賛され続けています。「スケーラブル」Shorアルゴリズムの複雑さは何ですか？

[ 1 ] Monz et al。（2016）科学。巻 351、Issue 6277、pp。1068-1070
[ 2 ] Smolin et al。（2013）自然。499、163–165
[ 3 ] Dattani＆Bryans（2014）arXiv：1411.6758
[ 4 ] Zalka（2008）arXiv：quant-ph / 0601097
[ 5 ] Cao＆Luo 「コメント：スケーラブルなShorアルゴリズムの実現」

— user1271772
ソース

「スケーラブル」の意味に依存します。CaoとLiuに対する批判の中には、非常にきびきびとしたものがあります。たとえば、彼らの批判の1つは、Kitaevが、この結果に引用された論文で1つの量子ビットしか使用できないと主張していないことです。彼らは、この主張自体が実際に真であるか偽であるかを調査していないようです。科学論文が主張しているように、キタエフのアルゴリズムは、実際にはキタエフのアルゴリズムに関するキタエフの論文にはないようですが、1つのキュービットのみを使用するように変更できます。

— ピーターショー

@PeterShor、あなたから聞いて光栄です！わかりましたので、著者はキタエフの論文の結果を1キュビットで可能にするために拡張し、Cao＆Liuはそれを「修正されたキタエフアルゴリズムまたはそのようなもの」ではなく「キタエフのアルゴリズム」と呼んでいます。しかし、彼らはまた、QFTが「半古典的QFT」に変えられたとき、複雑さの議論はもはや成り立たないと言います。私はこのタイプの分析に関してはまだ学生ですので、ご意見をいただければ幸いです。複雑さはまだO（log n）^ 3ですか？多項式であるという点で「スケーラブル」ですか、それとも少なくともGNFSですか？

— user1271772 16

私は偏見があると人々が主張するかもしれないので、他の誰かにこれに答えさせます。しかし、サイエンスペーパーの著者は、Kitaevのアルゴリズムを拡張しなかったことを指摘しておきます。これは、よく知られた拡張機能です。彼らは単に正しい参照を引用しなかった。

— ピーターショー

8キュビットに到達するこれらの式は、Shorのアルゴリズムの特定の実装を使用し、その実装に必要なキュビットの数を計算します。彼らは、これが可能な限り最良の実装であると主張していません。

— ピーターショー

@ user1271772これは、あなたがあなた自身の投稿で言及された著者の一人であることに基づいて、中程度の注意を払うためにフラグが立てられました。それは悪いことではなく、一部の自己宣伝は科学の避けられない部分ですが、おそらくそれを明確にするのが最善でしょうか？

— ビョルンジョス＝ハンセン

CaoとLuoの議論の主な目的は、実装されたアルゴリズムのバリエーションでは、最初のレジスタ（最終的に出力を含む）には1ビットしか含まれないということです。また、アルゴリズムから1ビットの出力しか得られない場合、分解には不十分です。（1つには、これは彼らの議論ではありませんが、1ビットには明らかに要因を決定するのに十分な情報が含まれていません。）

$c$ $O(\log^3 N)$

CaoとLuoに公平を期すために、彼らは、このアルゴリズムが機能するとは思わないと言い、元のファクタリングペーパーに記載されているアルゴリズムと正確に一致しないため、Shorのアルゴリズムではない。彼らの論文からの引用：

最後に、実装が実際に信頼できる場合、Shorアルゴリズムのすべての要件が満たされないため、Shorアルゴリズムではなく、新しい量子因数分解アルゴリズムになることを強調したいと思います。

実際、元のファクタリングペーパーのアルゴリズムではありません。Kitaevのファクタリングアルゴリズムからの位相推定手順と、グリフィスとNiuによって発見されたアルゴリズムの位相推定手順を使用します（この回答の以前の編集で述べたように、ParkerとPlenioによってではありません）。一度に1ビットずつ。

— ピーター・ショー
ソース

CaoとLuoの論文で、一度に1ビットずつ出力すると運用コストに影響すると言うところを教えてください。私が彼らの論文を正しく読んでいれば、彼らはそうしません。私は彼らの批判を十分に反haveしたと思います。

— ピーターショー

c

$c$

x \cdot t

$x\cdot t$

t

$t$

1量子ビットの出力位相推定のために回路を調べて、これを達成するために必要な比較的小さな変更が時間の複雑さに影響しない理由を説明しません。これは、パーカーとプレニオの論文、単一の純粋なキュービットとlog Nの混合キュービットによる効率的な因数分解のページ2で説明されている「半古典的な」修正です。

— ピーターショー

\log N + 1

$\log N + 1$

1

$1$

\log N + 1

$\log N + 1$

私が言ったように、あなたは論文を読んで理解しなければなりません。あなたが私を信じていないなら、自分で数えてください。アルゴリズムの基本構造は変更されていません。

— ピーターショー