SATオラクルは多項式時間アルゴリズムの高速化にどの程度役立ちますか？

オラクルへのアクセスは、N P - Pのすべてに対して大幅な超多項式高速化を提供します（セットが空でないと仮定）。しかし、Pがこのoracleアクセスからどれだけの利益を得るかは、あまり明確ではありません。もちろん、Pの高速化は超多項式にすることはできませんが、それでも多項式にすることができます。たとえば、S A Tオラクルを使用すると、それを使用しない場合よりも最短で最短経路を見つけることができますか？劣モジュラ関数の最小化や線形計画法など、より洗練されたタスクはどうですか？彼ら（またはPの他の自然な問題）はS A $SAT$${\bf NP}-{\bf P}$$\bf P$$\bf P$$SAT$$\bf P$$SAT$ オラクル？

より一般的には、場合我々は、任意の問題を選ぶことができる、およびそれのためのOracleを使用し、その後に問題のどのPは、スピードアップを見ることができますか？${\bf NP}-{\bf P}$$\bf P$

実際、時間での非決定性チューリングマシンの受け入れはO （t log t ） -SAT に短縮可能な時間（構築は忘却型シミュレーションを介して、Arora-Barakを参照）であるため、通常、非決定性マシンは決定論的、SATオラクルで少なくともある程度の高速化が見られます。$t$$O(t \log t)$

より具体的には、AKSアルゴリズムの最適なバリアントが時間O （n 6のビット数の素数性をテストするように見えるため、素数性テストが思い浮かびます。$n$。しかし、私たちが「古い学校」に行くと、プラットは時間 O （n $O(n^6 \; \text{polylog}\; n)$。このマシンの受け入れは、 O （n $O(n^3 \; \text{polylog}\; n)$ SATインスタンスまでの時間。$O(n^3 \; \text{polylog}\; n)$

3SUM問題は別の例かもしれません。解を推測して準2次時間でチェックでき、そのようなマシンの受け入れを準2次時間でSATに減らすことができるからです。

より一般的には、NP-Pの問題を選択し、そのためにOracleを使用できる場合、Pのどの問題が高速化を実現できますか？

この質問は、ある問題を別の問題に還元するのに必要な表現と時間でより直接的に得られます。

私が念頭に置いている主な答えは、整数/線形プログラミングのオラクルです。その問題の決定版はNP完全です。線形計画法は特別なケースであるため、些細な「削減」があります。しかし、線形プログラミングだけのオラクル（ILPは言うまでもありません）は、線形プログラミングですぐに解決できる多くの問題を高速化します。問題をLPとして書き直すことにより、線形時間でそれを減らすことができます。たとえば、最短パスとその他のフローの問題、マッチング。

しかし、私は、ILPは、任意の手段によって唯一のものであるとは思わない、それは人々がについてあまり考えていないことをおそらくよります例えばまたはようにTSPへの最短パスを削減します。

代わりの場合は、関連するノート（コメントのより、リクエストによって答えとして掲載）で、神託の1が可能にΣ 2 S A Tの神託を、のいずれかの問題のため、最小限の回路を見つけるために使用することができ$SAT$$\Sigma_2 SAT$（これはKarp-Liptonの証明と同じ考えに従っています）。これにより、あらゆる問題にほぼ最適な償却コストが与えられます。それだけで償却しています理由は、あなたが一度だけこれを使用した場合、その後の大きさということである Σ 2 S A Tは、あなたが書き留め式は、本質的に、あなたのオリジナルのポリ時間アルゴリズムの実行時間であるが、その工程の後にあなたがして、最適な回路を持っていますサイズのすべてのインスタンスの ≤ $\mathsf{P}$$\Sigma_2 SAT$$\leq n$。