平面グラフのツリー幅の計算の複雑さを判断することはまだ可能ですか？

定数を、一方は入力グラフが与えられると、線形時間で決定することができるそのかどうか、ツリー幅がある。ただし、と両方が入力として与えられる場合、問題はNP困難です。（ソース）。 $k \in \mathbb{N}$ $G$ $\leq k$ $k$ $G$

ただし、入力グラフが平面の場合、複雑さについてはあまり知られていないようです。問題が明らかにされたオープンし、2010年にもに登場請求この調査 2007年とに分岐分解のためのWikipediaのページを。反対に、前述の調査の以前のバージョンでは、問題はNPハード（参照の証明なし）であると主張されていますが、これはエラーだと思います。

問題の複雑さを決定することがまだ開いている、所与と平面グラフ、決定のツリー幅有する？もしそうなら、これは最近の論文で主張されましたか？部分的な結果はわかっていますか？そうでない場合、誰がそれを解決しましたか？ $k \in \mathbb{N}$ $G$ $G$ $\leq k$

— a3nm
ソース

興味深い質問、調査を再起動してください。私の2セントを削ぐために、線形時間証明の元のソースはBodlaenderであると信じていますが、漸近的な複雑さの表記法によって隠されている一定の要因は膨大です。おそらく、あなたの質問に対する興味深いスピンオフ/拡張は、平面の制限がこのコンテキストでより実用的な一定の要因を可能にするかどうかでしょうか？

— -Fasermaler

私はそれが「有名で古い問題」だと思うので、もしあなたが論文を見つけなければ、それはおそらく未解決の問題であるでしょう。その他の「証拠」：コースグラフアルゴリズム、アプリケーションおよび実装からの講義（2015）、コースグラフおよびアルゴリズムからの講義：高度なトピック（2014）、アルゴリズムの百科事典（2008）。

— マルツィオ・デ・Biasi

@Sariel：itとbranchwidthが互いに一定の範囲内であり、平面ブランチ幅が多項式時間で計算できるという事実を使用することにより、定数係数（3/2）内で近似できます。また、Leighton–Raoを使用して、すべてのグラフのログ内で近似できます。参照kintali.wordpress.com/2010/01/28/approximating-treewidth

— デイビット・エップスタイン

Bodlaenderのアルゴリズム（および線形時間ではなくFPTであった以前のアルゴリズム）の最初のステップである@Fasermalerは、最適な分解を見つけるために動的プログラミングを使用できる近似ツリー分解を計算することです。近似が厳密であればあるほど、2番目のステップは速くなります。したがって、ブランチ幅を使用して平面ツリー幅へのより厳密な近似を見つけることができるという事実は、パラメーターへのより良い依存性につながる可能性が高いと思われます（線形から多項式に戻ることを犠牲にします）。しかし、私はこれを注意深く分析する論文を知りません。

— デビッドエップスタイン

ツリー幅を概算する問題について。スパース/バランスノードセパレーターを見つけるための

近似は、

α

$\alpha$

、ツリー幅に対して

近似をます。したがって、一般的なグラフでは、

O (α)

$O(\alpha)$

ARV / Feige-Lee-Hajiaghayiおよび

経由

O (\sqrt{\log n})

$O(\sqrt{\log n})$

O (1)

$O(1)$ 平面と適切なマイナー閉家族に。一般的なグラフの場合、

ここで、

はツリー幅です。

O (\sqrt{\log k})

$O(\sqrt{\log k})$

k

$k$

— チャンドラチェクリ

私の知る限り、平面グラフのツリー幅を計算するNP完全性はまだ開いています。私が知っている最新の参考文献は、 Mike Fellowsの65歳の誕生日のお祝いに登場した2012年のBodlaenderによる「ツリー幅とパス幅の固定パラメータートラクタビリティ」という調査です。問題は調査の結論に記載されています。

— バート・ヤンセン
ソース

ありがとう！（また、他の参考文献を提案してくれた@MarzioDeBiasiにも感謝します。）好奇心から、問題が最初に提起された時期を誰かが偶然知りましたか？

— a3nm