ランダムグラフに集中していないグラフパラメーターはどれですか？

多くの重要なグラフパラメーターが、少なくともある確率の範囲でランダムグラフに（強い）集中を示すことはよく知られています。いくつかの典型的な例は、色数、最大クリーク、最大独立集合、最大一致、支配数、固定部分グラフのコピー数、直径、最大次数、選択番号（リストの色付け番号）、Lovasz -number、ツリー幅です。など$\theta$

質問：例外、つまり、ランダムグラフに集中していない意味のあるグラフパラメーターはどれですか。

編集。 濃度の可能な定義はこれです：

してみましょう上のグラフのパラメータである -vertexランダムグラフ。私たちは、それが呼び出す集中すべてのためならば、、それが保持している 確率が指数関数的に1に近づくと、 集中度は強くなります。ただし、異なる間隔で強いが使用されることもあります。これは、収束が縮小間隔で真実のままであり、非常に狭い範囲になる可能性があるという事実を示しています。たとえば、x_nに関するが最小限度であり、その後、エッジ確率のいくつかの範囲についてP、一方が証明することができ $X_n$$n$$\epsilon>0$

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big((1-\epsilon)E(X_n)\leq X_n \leq (1+\epsilon)E(X_n)\big)=1.$$ $X_n$$p$ $$\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big(\lfloor E(X_n)\rfloor\leq X_n \leq \lceil E(X_n)\rceil\big)=1$$ は可能な限り最短の間隔です（次数として）整数ですが、期待される値はそうでないかもしれません）。

注：集中ルールから人為的な除外を構築できます。たとえば、グラフのエッジの数が奇数の場合は$X_n=n$、そうでない場合は0とします。これは明らかに集中していませんが、意味のあるパラメーターとは考えません。

最大連結成分の多くのパラメーターは、、より一般的にはがクリティカルウィンドウにある場合集中しません。例としては、最大コンポーネントの直径とサイズ、2番目に大きいコンポーネントのサイズ、コンポーネントが持つ葉の数などがあります。$G(n,p)$$p=1/n$$p$

例参照

オルダス、デビッド。「ブラウンエクスカーション、クリティカルランダムグラフ、および乗法的合体。」確率論（1997）：812-854。

Nachmias、Asaf、およびYuval Peres。「クリティカルランダムグラフ：直径と混合時間」確率36、いいえ。4（2008）：1267-1286。

アダリオ・ベリー、ルイジ、ニコラス・ブルタン、クリスティーナ・ゴールドシュミット。「クリティカルランダムグラフの連続限界。」確率論および関連分野152、no。3-4（2012）：367-406。

いくつかのカウント（）プロパティ、およびおそらくそれらの多くについて、集中できないことがあります。$\#\mathsf{P}$

単純な例は、スパンするサブグラフの数（）です。ランダムグラフのエッジの数はによって変動するため、スパンするサブグラフの数は因子によって変動し、因子からかなり離れています濃度の定義で使用しています。$2^m$$\pm \Theta(n)$$2^{\Theta(n)}$$(1+\epsilon)$

これが孤立した例ではないことを示すために、ハミルトニアンサイクルの数についても集中することができない理由についての議論（完全に厳密ではないが、厳密にできる可能性がある）を示します。この数の期待値は明らかにです：の頂点の周期的シーケンスのそれぞれは実際に可能性がありますハミルトニアンサイクル。同様の議論により、新しいエッジの導入によって引き起こされるこの数への予想される変化量は、であり、線形係数だけ小さくなります。ハミルトニアンサイクルの数が強く集中している場合、ほとんどのエッジフリップにより、この数に予想値に近い量の変化が生じます。しかし、その後、$(n-1)!/2^{n+1}$$(n-1)!/2$$1/2^n$$(n-2)!/2^{n-1}$$\Theta(n)$ エッジの数の変動は、ハミルトニアンサイクルの数の変動を引き起こし、その値は期待値に比例し、強い集中の仮定と矛盾します。

集中に失敗する可能性のある他の候補には、カラーリングの数（頂点の独立したセットへの分割）、マッチングの数または完全なマッチング、またはスパニングツリーの数が含まれます。