理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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ソートされた
最近のプレプリントでhttps://arxiv.org/abs/1801.00776、それがあると主張しているの実数は、時間でソートすることができます O （nは√nnn および線形空間。私はアルゴリズムのソートの専門家ではありませんが、この論文は理にかなっています。O(nlogn−−−−√),O(nlog⁡n),O(n \sqrt{\log n}), 正しい場合、これは少なくとも理論的には重要だと思います。 ただし、主な議論の提示はやや非公式で非伝統的です。 この論文で誰かが気づいた/コメントしましたか？同じ著者のYijie Hanは、HanのO （n log log n ）時間、線形空間、整数ソートアルゴリズムで説明されているように、整数ソートに関連する結果を公開しているようです。O(nloglogn)O(nlog⁡log⁡n)O(n \log\log n)
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2つの決定論的なCFGを区別する通常の言語
次の2つの与えられていると仮定決定性言語認識オートマトン押し下げとBを通常の言語があるかどうかを判断するために、との願いをR、その結果A ⊆ RおよびR ∩ B = ∅。基本的に、課題は、2つの言語のどちらが特定の文字列に由来するものであるかを認識できるDFAがあるかどうかを判断することです。AAABBBRRRA⊆RA⊆RA \subseteq RR∩B=∅R∩B=∅R \cap B = \emptyset これは決定可能ですか？もしそうなら、複雑さは何ですか？DFAは明示的に構築できますか？
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非決定的多項式時間と決定的多項式時間検証の等価性の主なソース
言語の証明書が多項式時間で検証できる場合、言語がNPにあることを最初に示したのは誰ですか？これを正式に証明する論文はありますか？TCSコミュニティは、いつから検証可能性を優先して非決定性を強調しなくなりましたか？私は、パパディミトリオウやアローラとバラクのようなテキストを超えて、これについての良い参照を見つけることができません。
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2つの非同型グラフ
私は非常に具体的になりたいです。誰もが以下の命題の反論または証拠を知っていますか： ∃p∈Z[x],n,k,C∈N,∃p∈Z[x],n,k,C∈N,\exists p \in \mathbb{Z}[x], n, k, C \in \mathbb{N}, ∀G,H∈STRUC[Σgraph](min(|G|,|H|)=n,G≄H),∀G,H∈STRUC[Σgraph](min(|G|,|H|)=n,G≄H),\forall G, H \in STRUC[\Sigma_{graph}] (min(|G|, |H|) = n, G \not\simeq H), ∃φ∈L(Σgraph),∃φ∈L(Σgraph),\exists \varphi \in \mathcal{L}(\Sigma_{graph}), |φ|≤p(n)∧qd(φ)≤Clog(n)k∧G⊨φ∧H⊭φ.|φ|≤p(n)∧qd(φ)≤Clog(n)k∧G⊨φ∧H⊭φ.|\varphi| \leq p(n) \wedge qd(\varphi) \leq Clog(n)^k \wedge G \vDash \varphi \wedge H \nvDash \varphi. 直観的には、「 local」ステートメントを使用してすべての非同型グラフを区別できる場合、これは正しいはずです。これは間違っていると思います。もちろん、同乗を法とするグラフを指定するだけでよいため、多項式の量指定子の深さを使用してグラフを区別できます。Clog(n)kClog(n)kClog(n)^k φ=∃x1∃x2∃x3...∃xn(∀x(⋁i∈VGx=xi)∧(⋀(i,j)∈EGE(xi,xj)))∧(⋀(i,j)∉EG¬E(xi,xj)))∧(⋀(i,j)∈V2G∣i≠jxi≠xj).φ=∃x1∃x2∃x3...∃xn(∀x(⋁i∈VGx=xi)∧(⋀(i,j)∈EGE(xi,xj)))∧(⋀(i,j)∉EG¬E(xi,xj)))∧(⋀(i,j)∈VG2∣i≠jxi≠xj).\varphi = \exists x_1 \exists x_2 \exists …
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パターンラムダ計算におけるイータ展開
Klop、van Oostrom、およびde Vrijerには、パターンを含むラムダ計算に関する論文があります。 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304397508000571 ある意味では、パターンは変数のツリーです。ただし、たとえば（（x、y）、z）、（t、s））のように、変数のネストされたタプルと考えています。 論文では、パターン内の変数が繰り返されないという意味で、パターンが線形である場合、ルール (\p . m) n = m [n/p] ここで、pは可変パターンで、nはpとまったく同じ形状の用語のタプルで、コンフルエントです。 パターンと追加のイータルール（拡張、縮小、または単なる平等）を備えたラムダ計算の文献に同様の開発があるかどうか、私は興味があります。 特に、イータでは、 m = \lambda p . m p より直接的に、このようなラムダ計算がどのような特性を持つのか興味があります。たとえば、コンフルエントですか？ 次のプロパティを強制するため、分類カテゴリを強制的に閉じます。 m p = n p implies m = n 間に\ xi-ruleを使用します。しかし、おそらく何かがうまくいかないのでしょうか？
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Oracle Turingマシンの停止問題に関する情報の圧縮
停止の問題は計算できないことがよく知られています。ただし、停止している問題に関する情報を指数関数的に「圧縮」することが可能であるため、それを解凍することは計算可能です。 より正確には、チューリングマシンの記述とnビットのアドバイスステートから、アドバイスステートが信頼できると仮定して、2 n − 1 個のチューリングマシンすべての停止問題に対する答えを計算することができます。アドバイザーにビットを選択させて、チューリングマシンの数をバイナリで停止させ、その数が停止するまで待ち、残りが停止しないことを出力させます。2n−12n−12^{n}-1nnn2n−12n−12^{n}-1 この引数は、Chaitinの定数を使用して停止問題を解決できるという証拠の単純な変形です。私が驚いたのは、シャープだということです。チューリングマシンの記述から計算可能なマップはありません。nビットのアドバイスは、チューリングマシンの各タプルに対して、ビットのタプルに対して正しい答えを得る2 nビットの停止出力を示します。もしあれば、2 n個のチューリングマシンのそれぞれが、nビットの2 n個の可能な配置の1つでプログラムが何をするかをシミュレートし、予測に違反する独自の停止状態を選択することにより、対角化によって反例を生成できます。2n2n2^nnnn2n2n2^n2n2n2^n2n2n2^nnnn オラクルが停止しているチューリングマシンの停止問題に関する情報をまったく圧縮することはできません（何らかのオラクルにアクセスすることなく）。マシンは、すべての可能な入力で予測したものをシミュレートし、停止しない入力を無視し、停止時間を選択して、入力で予測しなかった辞書式の最初の回答を与えます。 これは私に他の神託のために何が起こるかについて考えるように動機づけました： オラクルを使用したチューリングマシンの停止問題を線形と指数の間の中間の成長率で圧縮できるオラクルの例はありますか？ より正式には、オラクルが与えられた場合、最大mとし、次の計算可能な部分関数が存在するようにします。f(n)f(n)f(n)mmm機械とチューリングオラクルのnビットを m個のそれぞれについてように、ビットは、 m個のオラクルチューリングマシンのタプル、あります N個のその入力に基づいて評価関数の値に等しいビットのタプル、 m個のタプル 1停止し、その各Oracleチューリングマシンのを 0各Oracle用の永久実行するマシンをチューリング。mmmnnnmmmmmmnnnmmm111000 オラクルはありますか？ω （n ）= f （n ）= o （2 n）のオラクルはありますか？n&lt;f(n)&lt;2n−1n&lt;f(n)&lt;2n−1n<f(n)<2^{n}-1ω(n)=f(n)=o(2n)ω(n)=f(n)=o(2n)\omega(n)=f(n)=o(2^n)
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DSPACEの時間階層（O（s（n）））
時間階層の定理は、チューリングマシンが（十分な）時間があれば、より多くの問題を解決できると述べています。スペースが漸近的に制限されている場合、何らかの方法で保持されますか？どのようDTISP(g(n),O(s(n)))DTISP(g(n),O(s(n)))\textrm{DTISP}(g(n), O(s(n)))に関連DTISP(f(n),O(s(n)))DTISP(f(n),O(s(n)))\textrm{DTISP}(f(n), O(s(n)))であればfgfg\frac{f}{g}は十分に速く成長しますか？ s(n)=ns(n)=ns(n) = n、g(n)=n3g(n)=n3g(n) = n^3およびの場合に特に興味がありf(n)=2nf(n)=2nf(n) = 2^nます。 特に、私は、次の言語と見なさ： Lk:={(⟨M⟩,w):M rejects (⟨M⟩,w) using at most |⟨M⟩,w|3 time steps,Lk:={(⟨M⟩,w):M rejects (⟨M⟩,w) using at most |⟨M⟩,w|3 time steps, L_k := \{ (\langle M \rangle, w) \; : \; \text{M rejects } (\langle M \rangle, w) \text{ using at most } …
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密度の異なる言語間の削減？
言語Xの密度は関数d Xです。N → Nは、として定義されます 仮定とある有限アルファベット以上の言語であり、多くのワン・ログ・スペースが減少する、及びでない。関数は、すべてのに対して多項式およびが存在する場合、多項式的に関連していますXXXdX:N→NdX:N→Nd_X \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}A B A B B L = DSPACE （log n ）f 、g ：N → NdX(n)=|{x∈X∣|x|≤n}|.dX(n)=|{x∈X∣|x|≤n}|.d_X(n) = |\{x\in X \mid |x| \le n\}|.AAABBBAAABBBBBBL=DSPACE(logn)L=DSPACE(log⁡n)\textsf{L} = \text{DSPACE}(\log n)f,g:N→Nf,g:N→Nf,g \colon\mathbb{N} \to \mathbb{N}Q N ∈ Npppqqqn∈Nn∈Nn\in \mathbb{N}。f(n)≤p(g(n))f(n)≤p(g(n))f(n) \le p(g(n))および。g(n)≤q(f(n))g(n)≤q(f(n))g(n) \le q(f(n)) の密度がの密度に多項式的に関連していない場合、からへの対数空間の縮小はありますか？B B AAAABBBBBBAAA バックグラウンド 答えはノーだと思いますが、現在これを表示することはできません。 明らかに、がにある場合、からへのログスペースの削減はありません。そのため、明確な否定的な答えを提供できる例がいくつかあります。L …
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この非標準バージョンの東の不平等の証拠は何ですか？
DworkらによるBoosting and Differential Privacyの付録B では、著者は以下の結果を証拠なしに述べており、それをAzumaの不等式と呼んでいます。 レッツ、このようなすべてのためにその実数値確率変数も、C1,…,CkC1,…,CkC_1, \dots, C_ki∈[k]i∈[k]i \in [k] Pr[|Ci|≤α]=1Pr[|Ci|≤α]=1\Pr[|C_i| \leq \alpha] = 1 すべてのに対して、\ text {E} [C_i \ mid C_1 = c_1 、\ドット、C_ {I - 1} = C_ {I - 1}] \当量\ベータ。E [ C I | C 1 = C 1、... 、C I - 1 = C I …
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SATは文脈自由言語ですか？
私はすべての充足可能な命題論理式の言語、SATを考えています（これが有限のアルファベットを持っていることを保証するために、私たちは何らかの適切な方法で命題文字をエンコードします[編集：エンコーディングが異なるため、より具体的にする必要があります。以下の私の結論を参照してください）。私の簡単な質問は あるSATは、文脈自由言語？ 私の最初の推測は、今日（2017年初頭）の答えは「これは複雑性理論の未解決の問題に関連しているため、誰も知らない」ということでした。ただし、これは完全に偽ではありませんが、実際には真実ではありません（下記の回答を参照）。ここに、私たちが知っていることの簡単な要約を示します（いくつかの明らかなことから始めます）。 SATは規則的ではありません（括弧が一致するため命題論理の構文でさえ規則的ではないため） SATは状況依存です（それにLBAを与えるのは難しくありません） SATはNP完全（クック/レビン）であり、特に多項式時間で非決定的なTMによって決定されます。 SATは、一方向の非決定的スタックオートマトン（1-NSA）でも認識できます（WCラウンド、中間レベル言語での認識の複雑さ、スイッチングとオートマトン理論、1973、145-158 http://dx.doi.org/を参照してください）10.1109 / SWAT.1973.5） コンテキストフリー言語の単語の問題には、独自の複雑度クラスCFLCFL\textbf{CFL}（https://complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo:C#cflを参照） 、 LOGCFLは、問題のクラスであるが、に還元LOGSPACE CFL（参照https://complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo:L#logcfl）。これは、ことが知られている NL ⊆ LOGCFL。CFL⊆LOGCFL⊆AC1CFL⊆LOGCFL⊆AC1\textbf{CFL}\subseteq\textbf{LOGCFL}\subseteq\textbf{AC}^{\textbf{1}}LOGCFLLOGCFL\textbf{LOGCFL}CFLCFL\textbf{CFL}NL⊆LOGCFLNL⊆LOGCFL\textbf{NL}\subseteq\textbf{LOGCFL} これは、かどうかは知られていないまたは（実際には、でも開いている、私は思いますこれは、S。アロラ、B。バラク：計算の複雑さ：モダンアプローチ ; Cambridge University Press 2009）から入手しました。したがって、にないことがわかっている完全な問題はありません。したがって、SATがある場合は不明である必要があります。NL⊊NPNL⊊NP\textbf{NL}\subsetneq\textbf{NP}NL=NPNL=NP\textbf{NL}=\textbf{NP}NC1⊊PHNC1⊊PH\textbf{NC}^{\textbf{1}}\subsetneq\textbf{PH}NPNP\textbf{NP}LOGCFLLOGCFL\textbf{LOGCFL}LOGCFLLOGCFL\textbf{LOGCFL} ただし、この最後の点では、SATがにないことがわかっている可能性が残っています。一般に、質問の認識状態を明確にするのに役立つ可能性のあるNC階層とCFLの関係についてはあまり見つけることができませんでした。CFLCFL\textbf{CFL}CFLCFL\textbf{CFL}NCNC\textbf{NC} 備考（最初の回答を見た後）：論理式が連言標準形になるとは思っていません（これは回答の本質に違いをもたらさず、CNFも数式であるため、通常は引数が適用されます。構文に括弧が必要なため、問題の変数の定数バージョンは定期的に失敗すると主張します。 結論：私の複雑性理論にヒントを得た推測に反して、SATはコンテキストフリーではないことを直接示すことができます。したがって、状況は次のとおりです。 命題変数が2進数で識別される式の「直接」エンコーディングを使用するという仮定の下で、SATはコンテキストフリーではないことが知られています（言い換えると、SATはありません）演算子および区切り文字用）。CFLCFL\textbf{CFL} SATがに含まれているかどうかはわかりませんが、「ほとんどの専門家はそうではない」と考えています。これは、P = NPを意味するからです。これはまた、SATの他の「合理的な」エンコーディングがコンテキストフリーであるかどうかが不明であることを意味します（NP困難な問題の場合、ログスペースは許容可能なエンコーディング作業であると想定します）。LOGCFLLOGCFL\textbf{LOGCFL}P = NPP=NP\textbf{P}=\textbf{NP} これら2つの点が意味するものではありませんのでご注意。これは、コンテキストフリーではない言語（たとえば、a n b n c n）がLにある（したがってLOGCFLにある）言語があることを示すことで、直接表示できます。CFL ⊊ LOGCFLCFL⊊LOGCFL\textbf{CFL}\subsetneq\textbf{LOGCFL}LL\textbf{L}LOGCFLLOGCFL\textbf{LOGCFL}anbncnanbncna^nb^nc^n
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NPのユークリッドTSPおよび平方根の複雑さ
Ola Svenssonによるこの講義ノート：http : //theory.epfl.ch/osven/courses/Approx13/Notes/lecture4-5.pdfで、ユークリッドTSPがNPにあるかどうかはわかりません。 理由は、平方根を効率的に計算する方法がわからないからです。 一方、Papadimitriouによるこの論文があります：http ://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397577900123 それはNP完全であると言っています。彼は論文でそれを証明していませんが、私は彼がNPのメンバーシップを些細なことであると考えていると思います。これは通常そのような問題の場合です。 私はこれに混乱しています。正直なところ、ユークリッドTSPがNPであるかどうかわからないという主張は、TSPツアーを証明書として取るのは簡単だと思っていたので、私はショックを受けました。しかし、問題は平方根が存在する可能性があることです。そのため、講義ノートでは基本的に、多項式時間では次の問題を解決できないと主張しています。 有理数を考えると、かどうかを判断√q1、…、qn、A ∈ Qq1、…、qn、A∈Qq_1,\ldots,q_n,A\in\mathbb{Q}。q1−−√+ ⋯ + qn−−√≤ Aq1+⋯+qn≤A\sqrt{q_1}+\cdots+\sqrt{q_n}\leq A 質問1：この問題について何を知っていますか？ これにより、次の単純化が求められますが、見つけることができませんでした。 質問2：場合、これは特別な場合に還元できますか？この特別な場合の多項式時間は解けるか？n = 1n=1n=1 しばらくそれについて考えて、私はこれに来ました。入力のビット数に関する多項式時間の複雑さを求めます。つまり、数値自体のサイズではありません。合計を多項式の10進数の数字に簡単に計算できます。悪いケースを取得するために、我々は、のインスタンス必要のためのK = 1 、2 、...毎の多項式のためのように、P、整数が存在Kように√q1 、k、… 、qn 、k、Ak∈ Qq1、k、…、qn、k、Ak∈Qq_{1,k},\ldots,q_{n,k},A_k\in\mathbb{Q}K = 1 、2 、...k=1、2、…k=1,2,\ldotspppkkkおよびAkは、10進数展開の最初のp（input-size）桁で一致します。q1 、k−−−√+ ⋯ + qn 、k−−−√q1、k+⋯+qn、k\sqrt{q_{1,k}}+\cdots+\sqrt{q_{n,k}}AkAkA_kp （入力サイズ）p（入力サイズ）p(\text{input-size}) 質問3：このような実数のインスタンスはありますか？ しかし、とは何ですか？これは有理数の表現方法に依存します！今、私はこれについて興味があります：入力サイズ入力サイズ\text{input-size} 質問4：有理数は2つの整数の比として与えられる場合であるが、アルゴリズム的に重要である（例えば、または（例えば、小数の膨張）2.5334 ¯ 567）？言い換えると、小数展開のサイズが比率表現のサイズまたは他の方法で多項式的に制限されないような有理数のファミリーがありますか？24 / 1324/1324/132.5334 567¯¯¯¯¯¯¯¯2.5334567¯2.5334\overline{567}
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なぜコンピューター科学者は、P≠NPであるという仮定の下で、全体として働くのですか？
数学の背景から言えば、コンピュータ科学者全体でという仮定の下で働く傾向があることは、私にとって興味深いようです。どちらの方法でも証拠はありませんが、一般的に、数学と科学の両方で何かが明確に証明されない限り、それはかなりの力で行われます。私は長年、人々がを反証しようとして費やしてきたこと、つまり、証拠がまだ発見されていないという事実は、少なくとも一部のコンピューター科学者を、をおそらく真実であると見なすパラメーターの範囲内で作業させることにつながると感じています。しかし、私はしばしば、それが真実ではないという枠組みの中で働いている人を見て、なぜだろうと思っていましたか？と仮定する方がより保守的なようですP≠NPP≠NPP \neq NPP=NPP=NPP = NPP=NPP=NPP = NPP = N PP=NPP=NPP = NP多くの分野で。が真であることが証明された場合、現在の方法論の多くを変更しなければならないコンピューターサイエンスとCSに隣接するフィールドの数について、私は無数の記事を読みました。いずれにせよすぐに証明されることはまずありませんが、そのような推測に大きく依存することは少し奇妙に思えます。Goldbachの予想も無効であると仮定することは、ほとんど証拠がないため、最も重要なようです。P=NPP=NPP = NP
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高速行列乗算のメモリ要件
行列を乗算するとします。低速行列乗算アルゴリズムは、時間O （n 3）で実行され、O （n 2）メモリを使用します。時間で最速の行列乗算の実行のn ω + O （1 ）、ωは線形代数一定であるが、そのメモリの複雑性について知られていますか？n×nn×nn \times nO(n3)O(n3)O(n^3)O(n2)O(n2)O(n^2)nω+o(1)nω+o(1)n^{\omega + o(1)}ωω\omega 高速行列乗算消費すること先験的可能かもしれないと思われるメモリ。O （n 2）メモリで実行できるという保証はありますか？現在知られている行列乗算アルゴリズムはO （n 2）メモリを使用するのですか？nωnωn^{\omega}O(n2)O(n2)O(n^2)O(n2)O(n2)O(n^2) （私は実際に長方形行列の乗算に興味がありますが、その場合の答えは正方形の場合と同じであり、正方形の場合の方がよく研究されていると思います。）
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注文時にサブグラフの距離を保持するグラフのクラスのリファレンス
私たちは、グラフとしましょう財産持っているその頂点を注文することができる場合グラフように頂点によって誘発されるがありすべての。つまり、順序付けで次の頂点を追加しても、現在のグラフの距離メトリックには影響しません。GGGMMMv1,v2,…vnv1,v2,…vnv_1, v_2, \ldots v_nHiHiH_i{v1,…,vi}{v1,…,vi}\{v_1, \ldots, v_i\}distHi(vj,vk)=distG(vj,vk)distHi(vj,vk)=distG(vj,vk)dist_{H_i} (v_j, v_k) = dist_G(v_j, v_k)j,k≤ij,k≤ij,k \leq i このようなグラフの例は、通常のグリッドです。n×nn×nn \times n このプロパティまたはグラフのクラスには名前がありますか？彼らは研究されましたか？
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量子オートマトンの分野の調査はありますか？
量子オートマトンの分野における重要な概念の調査論文を探しています。Quantum Automata Theory-A Review by Hirvensalo を見つけましたが、トピックを理解するには簡潔すぎます。量子オートマトンのトピックに関する非常に包括的な調査はありますか？ また、トピックに関する重要な文献を教えていただけますか？
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