密度の異なる言語間の削減？

言語の密度は関数は、として定義されます仮定とある有限アルファベット以上の言語であり、多くのワン・ログ・スペースが減少する、及びでない。関数は、すべてのに対して多項式およびが存在する場合、多項式的に関連しています $X$ $d_X \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$

d_{X} (n) = | {x \in X ∣ | x | \leq n} | .

$d_X(n) = |\{x\in X \mid |x| \le n\}|.$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

B

$B$

L = DSPACE (\log n)

$\textsf{L} = \text{DSPACE}(\log n)$

f, g : N \to N

$f,g \colon\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

p

$p$

q

$q$

n \in N

$n\in \mathbb{N}$ 。

f (n) \leq p (g (n))

$f(n) \le p(g(n))$ および。

g (n) \leq q (f (n))

$g(n) \le q(f(n))$

の密度がの密度に多項式的に関連していない場合、からへの対数空間の縮小はありますか？ $A$ $B$ $B$ $A$

バックグラウンド

答えはノーだと思いますが、現在これを表示することはできません。

明らかに、がにある場合、からへのログスペースの削減はありません。そのため、明確な否定的な答えを提供できる例がいくつかあります。 $A$ $\mathsf{L}$ $B$ $A$

私は、最初の心場合であったいくつかのハード言語であり、および内孔吹き込むことによって得られる取ることによって、、いくつかのギャップ言語用、長さの全ての単語を含むいくつかのセットについて（Schmidt 1985およびRegan and Vollmer 1997も参照）。これにより、からへの些細な削減が保証されます。ギャップ言語は通常、のサイズの間隔の間に指数関数的に増加するギャップを持っています。これにより、と $B$ $A$ $B$ $A = B\cap G$ $G$ $n \in S_G$ $S_G \subseteq \mathbb{N}$ $A$ $B$ $G$ $S_G$ $A$ $B$ は多項式的に関連していません。ただし、言語に穴を開けると、からの縮約の対象となるには構造が少なすぎる言語が常に発生するという保証はありません。（吹き抜け穴という用語は、ダウニーとフォートノウ2003からのものです。）これを保証するには密度の違いで十分かもしれませんが、すぐにはわかりません。 $B$

別の例は、がハード言語と混合物である場合です。まず、いくつかの言語をギャップ言語と交差させることにより、ギャップのある言語作成します。は、ギャップ言語を決定するサイズのセット間隔内にあるサイズのインスタンスのみが含まれます。ここで、の結合との交点をとることにより、ギャップにをいくつかの難しい言語と混ぜてを作成します。 $B$ $A$ $A\not\in\mathsf{L}$ $C \not\in \textsf{L}$ $G$ $A$ $S_G$ $B$ $A$ $D$ $A$ $D$ との補数の。もし $G$ $D$ 比べて十分に懸命であるなど、あるながら-hard は、空間階層定理によりからの対数領域還元ありえないに。その後、これを拡張して、からへのログスペースの削減がないことを示すことが可能と思われます。 $C$ $D$ $\textsf{2EXPSPACE}$ $C \in \textsf{PSPACE} \setminus \textsf{L}$ $D$ $A$ $B$ $A$

これは、がよりも難しいが「あまり大きくない」、たとえば、をSAT、をSTCONに、をQBF-SATに、をSATにするといった状況を残します。結果を得るには、STCON / SATの場合は、SAT / QBF-SATの場合はを仮定する必要がありますが、これらの仮定の使用方法はすぐにはわかりません。 $D$ $C$ $D$ $C$ $D$ $C$ $\mathsf{L} \ne \mathsf{NP}$ $\mathsf{NP} \ne \mathsf{PSPACE}$

cc.complexity-theory reductions structural-complexity

— アンドラス・サラモン
ソース

何約

密度の任意の言語である

と

、その最後のビット0は、組合最後のビット1及び第あるすべての文字列のすべての文字列で構成され

であるビット列をAに？

A

$A$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

B

$B$

n - 1

$n-1$

— ダニエル

danielloのコメントが質問に答えていると思います。一般に、多対一の削減では、両方向に多対1の削減がある場合でも、密度についてはほとんどわかりません。1-1の削減、および両方向の1-1の削減（またはさらに強力なp-同型）は、密度間の関係を与えます（つまり、マハニーの定理を動機づけるBerman-Hartmanis同型予想;実際、BH同型は、そもそも密度を見る主な動機...）

— ジョシュアグロチョフ

ましょ任意の言語であることではないように、密度有する、および定義ここで、は連結です。言語密度は $A$ $L$ $A$ $2^{o(n)}$

B = {s \circ 1 | s \in {0, 1}^{*}} \cup {s \circ 0 | s \in A} .

$B = \{s \circ 1 | s \in \{0,1\}^*\} \cup \{s \circ 0 | s \in A\}.$

\circ

$\circ$

B

$B$

Ω (2^{n})

$\Omega(2^n)$

超多項式である

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$ です。一方、

と

ログスペースは互いに縮小します（

を連結

ことで

から

、

終わるすべての文字列を

の最小のyesインスタンスに縮小し、すべての文字列から最後のビットを削除することで

から

に縮小します

終わる）。したがって

同様。

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

0

$0$

B

$B$

A

$A$

1

$1$

0

$0$

B \notin L

$B \notin L$

— ダニエロ
ソース

その要件満たすように

、

このような構成で十分に硬質でなければなりません。

を各入力サイズの最大で1つのインスタンスを持つHaltingの単項バージョンにするだけで十分です。

B \notin L

$B \not\in \textsf{L}$

A

$A$

A

$A$

— アンドラスサラモン

@AndrásSalamon、それを指摘してくれてありがとう、コメントを記録するために回答を編集しました。

— ダニエロ