DSPACEの時間階層（O（s（n）））

時間階層の定理は、チューリングマシンが（十分な）時間があれば、より多くの問題を解決できると述べています。スペースが漸近的に制限されている場合、何らかの方法で保持されますか？どのよう $\textrm{DTISP}(g(n), O(s(n)))$ に関連 $\textrm{DTISP}(f(n), O(s(n)))$ であれば $\frac{f}{g}$ は十分に速く成長しますか？

$s(n) = n$ 、 $g(n) = n^3$ およびの場合に特に興味があり $f(n) = 2^n$ ます。

特に、私は、次の言語と見なさ： $L_k := \{ (\langle M \rangle, w) \; : \; \text{M rejects } (\langle M \rangle, w) \text{ using at most } |\langle M \rangle, w|^3 \text{ time steps},$ $k * |\langle M \rangle, w| \text{ cells and four different tape symbols} \}$

ただし、 $L_k$ で決定することができる $n^3$ 使用してステップ $(k+1)n \in O(n)$ スペース。

$M$ を4つのテープシンボルに限定せず、 $O(n)$ セルを $n$ セルに圧縮できるようにしないと、テープシンボルが多すぎる $M$ をシミュレートするときにスペースの問題が発生します。この場合、言語は $\text{DSPACE}(O(n))$ ません。同じことが、十分に高速に計算できる一部の $k = h(|w|)$ を設定する場合にも発生します。 $h$

この質問は基本的にここでの私の質問の言い換えです。

概要編集： 変更に、しかし、私は交差点も考えるように価値があると思います。 $\textrm{DSPACE}(s(n)) \cap \textrm{DTIME}(f(n))$ $\textrm{DTISP}(f(n), s(n))$

— ヘニング
ソース

素晴らしい質問!! 場合はDTISP（F（N）、S（n））を対DTISP（G（N）、S（n））を見ても非常に興味深いです

は十分に速く成長します。DTISP（G（N）、S（N））はDTIME（G（N））しながら、最もG（N）時におけるランがS（n）のスペースを利用して、単一のアルゴリズムによって解くことができる言語で表す

DSPACE（複数可（n））は、1つのアルゴリズムがg（n）時間で実行され、他のアルゴリズムがs（n）空間で実行される2つのアルゴリズムを持つ言語を表します。

\frac{f}{g}

$\frac{f}{g}$

\cap

$\cap$

— マイケルウェハ

おっと...私は実際に最初にD-SPACE（O（s（n）））-TIME（g（n））を書きましたが、MathJaxがそれを使って作ったものの外観が気に入らなかったので、すぐに変更しましたDSPACE（O（s（n）））∩DTIME（g（n））についてはあまり考えずに。最初の質問は最初に書いたものについてですが、交差点DSPACE（O（s（n）））∩DTIME（g（n））も非常に興味深いです-この間違いをしたことがうれしいです。明らかにDTISP（g（n）、s（n））⊆DTIME（g（n））∩DSPACE（s（n））。これは適切なインクルージョンですか？ウィキペディアによると、その正当性がDTISP（P、ポリI）⊆DTIME（P）∩DSPACE（ポリI）のために未知である：wikiwand.com/en/SC_(complexity）

— ヘニング

涼しい！！ご説明いただきありがとうございます。私はこの種の問題に本当に興味があります。:)

— マイケル・ウェーハー

。したがって、2番目のケースは簡単です。

D T I S P (2^{n}, n) = D S P A C E (n)

$DTISP(2^n,n)=DSPACE(n)$

— rus9384

スペースの一定量の時間階層が持つチューリングマシンのために得られることを言及することの価値が

固定用テープ

のためのホップクロフト・ポール・ヴァリアントに類似の引数とタイトな時間の階層を使用して

-tapeマシン。たとえば、WJポールを参照してください。STOC'77の「時間階層」

k

$k$

k

$k$

k

$k$

— サムマクガイア

これは未解決の問題です：（または）。私たちは知っている $\mathrm{DTISP}(O(n \log n),O(n)) = \mathrm{DSPACE}(O(n))$ $\mathrm{NSPACE}(O(n))$ 。 $\mathrm{DTIME}(O(n))⊆\mathrm{DSPACE}(O(n/\log n))$

しかし、もっともらしい計算の複雑さの推測では、適切な階層があります。例えば、すべてのための場合、回路SAT∉IO- 、次いで $ε>0$ $O(2^{n-ε})$ ここで、 $\mathrm{DTISP}(O(f),O(s(n))) ⊊ \mathrm{DTISP}(O(f^{1+ε}),O(s(n)))$
、である、および、時間-空間構成可能です。 $f(n)≥n$ $f(n)$ $2^{o(\min(n,s(n)))}$ $f$

In particular (under the hypothesis), existence of a satisfying assignment for circuits with $⌊\mathrm{lg}(f^{1+ε/2})⌋$ inputs and size $(\log f)^{O(1)}$ serves as a counterexample to the equality of the classes.

Notes:

CIRCUIT-SAT is at least as hard as $k$ -SAT (which is used in the strong exponential time hypothesis).
Per convention, in CIRCUIT-SAT, $n$ is the number of input wires; circuit size is $n^{O(1)}$ .
仮定は準線形回路サイズ用の回路-SATを使用した場合、その後に結合したに緩和することができる。また、CIRCUIT-SATの硬さに関するより弱い/より強い仮定は、より弱い/より強い階層を与えます（これは現在証明できます）。 $f(n)$ $O((2-ε)^{\min(n,s(n))})$
IO手段は無限に多くの場合、そしてためにドロップすることができる（を含む特定の意味で連続的である）。 $f$ $f(n)=n^a$
It appears likely that the DTISP hierarchy is sharp enough to distinguish $O(f)$ from $o(f/\log f)$ (and perhaps $o(f)$ ) (when $f$ is not too large relative to the permitted space).
To distinguish $n^a$ from $2^n$ , we only need the weaker assumption P≠PSPACE.

— Dmytro Taranovsky
ソース