タグ付けされた質問 「treewidth」

幅wのグラフツリー分解が与えられると、それを「素敵」にするいくつかの方法があります。特に、ツリーがバイナリで、高さがO （log n ）であるツリー分解に変換できることが知られています。これは、分解の幅を最大3 wに保ちながら達成できます。（たとえば、BodlaenderとHagerupによる「有界ツリー幅の最適な高速化を備えた並列アルゴリズム」を参照してください）。したがって、対数深度は、ほとんど無料で取得できるツリー分解のプロパティです。GGGwwwO （ログn ）O（ログ⁡n）O(\log n)3 週間3w3w 私の質問は、クリーク幅に対して同様の結果が存在するか、あるいは反例があるかどうかです。言い換えると、k個のラベルを使用したクリーク幅式が与えられた場合、最大f （k ）ラベルを使用するGの高さO （log n ）のクリーク幅式は常に存在しますか？ここで、高さは自然にクリーク幅式の解析ツリーの高さとして定義されます。GGGkkkO （ログn ）O（ログ⁡n）O(\log n)GGGf（k ）f（k）f(k) 上記のような文が知られていない場合の例がある -vertexグラフG小さなクリーク幅とkは、構築する唯一の方法ようにGを有するF （K ）のラベルが大きいと表現を使用することです深さ？nnnGGGkkkGGGf（k ）f（k）f(k)

15 treewidth  parameterized-complexity  fixed-parameter-tractable  cliquewidth 

グラフ、与えられた、私は最適な検索したい用-domination。それは私がサブセット必要であり、の内のすべての頂点のようにせいぜいの距離にあるの一部の頂点からのサイズ最小化しながら、。r G S V G r S SG = （V、E）G=(V,E)G = (V, E)rrrGGGSSSVVVGGGrrrSSSSSS 発見のこの関連問題があります：私は今のところ確認されているものから、私は次のようだのサブセットであるグラフで-centerを最大でサイズのをグラフのすべての頂点があるように頂点から最大距離で（ここでとは両方とも入力の一部です）、Demaine et al。平面グラフ用のFPTアルゴリズムがあります。それ以外の場合、問題はでも -hardです。S k r S | S | ≤ k個のR（k 、r ）(k,r)(k,r)SSSkkkrrrSSS| S| ≤K|S|≤k|S| \leq krrrr = 1W[ 2 ]W[2]W[2]r = 1r=1r = 1 有界ツリー幅グラフまたはツリーだけの支配問題の正確な複雑さについて何か知られていますか？（支配MSOは定義可能ですか？通常の支配集合問題はMSO定義可能です-これにより、Courcelleの定理を使用して、問題の線形時間アルゴリズムがあると結論付けることができます）。この問題に関して条件付き硬さの結果はありますか？r krrrrrrkkk

14 graph-algorithms  np-hardness  treewidth  parameterized-complexity  fixed-parameter-tractable 

次のプロセスで生成できる個の頂点のグラフに興味があります。nnn 任意のグラフで始まるにK ≤ Nの頂点。内のすべての頂点ラベルGをとして使用されていません。GGGK ≤ Nk≤nk\le nGGG 新しいグラフ生成新しい頂点追加することにより、V 1つまたは複数に接続され、 未使用の頂点G、及び任意に接続されていない使用済みの頂点Gを。vに未使用のラベルを付けます。G′G′G'vvvGGGGGGvvv 頂点のラベル1 れるVはとして接続されて使用されます。G′G′G'vvv をG 'に設定し、Gにn個の頂点が含まれるまで手順2から繰り返します。GGGG′G′G'GGGnnn このようなグラフを「複雑さのグラフ」（あいまいな用語の謝罪）と呼びます。たとえば、Gは、複雑さ1のグラフであり、Gはパスです。kkkGGGGGG このプロセスが以前に研究されたかどうかを知りたいです。具体的には、任意のために、それはグラフが複雑持っているかどうかを決定するために、NP完全であり、kは？kkkkkk この問題は、かどうかの問題に多少似現れるある部分のk -tree、すなわち持っているツリー幅kは。Gのツリー幅がkであるかどうかを判断することはNP完全であることが知られています。ただし、一部のグラフ（たとえば星）のツリー幅は、ここで説明した複雑さの尺度よりもはるかに小さい場合があります。GGGkkk kkkGGGkkk 2012年10月4日：1週間後に決定的な回答がなかった後、MathOverflowに質問がクロスポストされました（ただし、因果フローに関する情報に感謝します）。

14 ds.algorithms  graph-theory  treewidth 

Gを2n頂点上のツリーとします。Gのツリー幅、tw（G）=1。ここで、グラフHを得るためにGにn個のエッジを追加するとします。tw（H）の簡単な上限はn + 1です。 tw（H）はO（sqrt（n））であるように思われますが、これは単なる漠然とした予感です。2n頂点のツリーにn個のエッジを追加することによって得られるグラフのツリー幅について、O（n）よりも良い上限を知っていますか？

14 upper-bounds  treewidth 

一つは、話すことができるツリー幅は以下のようにして得られた線（頂点）の「moralized」グラフのツリー幅として定義する、ブール回路の：接続する配線とBたびbが有するゲートの出力である（入力として、または逆に）; 同じゲートへの入力として使用する場合は、ワイヤaとbを接続します。編集：回路のツリー幅を、それを表すグラフのツリー幅と同等に定義できます。結合性を使用してすべてのANDゲートとORゲートを書き直してファンインを最大2つにする場合、どちらの定義によるツリー幅も係数3まで同じです。aaabbbbbbaaaaaabbb333 一般的には扱いにくいが、制限されたツリー幅のブール回路では扱いやすいことがわかっている問題が少なくとも1つあります。各入力ワイヤが0または1に設定される確率（他とは独立）を与え、特定の出力ゲートは0または1です。これは通常＃2SATからの削減により＃P-hardですが、ジャンクションツリーアルゴリズムを使用して、ツリー幅が定数よりも小さいと想定される回路でPTIMEで解決できます。 私の質問は、確率論的計算以外に、一般的には扱いにくいが境界付きツリー幅回路では扱いやすいことが知られている他の問題があるかどうか、またはその複雑さは回路サイズとツリー幅の関数として説明できるかどうかを知ることです。私の質問はブールの場合に限定されません。他の半環上の算術回路にも興味があります。そのような問題はありますか？

14 circuit-complexity  pr.probability  treewidth  arithmetic-circuits 

Treewithは、グラフがツリーからどれだけ近いかを示す重要なグラフパラメーターです（厳密なトポロジの意味ではありません）。 ツリー幅の計算がNP困難であることはよく知られています。 ツリー幅の計算が難しい自然なグラフのクラスはありますか？ 同様に： ツリー幅の計算が簡単な興味深いグラフクラスはありますか？はいの場合、悪用される可能性のある構造プロパティ/テストはありますか？すなわち、グラフプロパティ有するX ⇒のツリー幅計算G ∈ Pを。GGGXXX ⇒⇒\RightarrowG∈PG∈PG \in \mathbf{P}

13 graph-theory  np-hardness  polynomial-time  treewidth 

タイトルが言うように、ツリーの正しい定義は何ですか？制限されたツリー幅を持つグラフの代替定義としてkツリーと部分kツリーについて説明する論文がいくつかあります。たとえば、少なくとも1つの場所が定義しますkkkkkkkkk次のように kツリーをします。kkk グラフが呼び出される -tree場合といずれか一方のみあればGが有する完全グラフであるk個の頂点、又はGは頂点有するV度Kを- 1ようG ∖ vがあるk個の -tree。部分的なkツリーは、kツリーのサブグラフです。kkkGGGkkkGGGvvvk−1k−1k − 1G∖vG∖vG \setminus vkkkkkkkkk この定義に従って、次のグラフを作成できます。 エッジ、2ツリーから始めます。(v1,v2)(v1,v2)(v_1, v_2)222 以下のために、頂点作成V Iをしてまで、それは隣接作るV I - 1とV I - 2。i=1…ni=1…ni=1\ldots nviviv_ivi−1vi−1v_{i-1}vi−2vi−2v_{i-2} これを行うと、対角線で個の正方形のストリップが作成されます。同様に、上のストリップに直交する方向に最初の正方形からバンドの作成を開始できます。次に、n × nグリッドの最初の行と最初の列を作成します。頂点を作成し、頂点をその上部と左側の頂点に結合することにより、グリッドへの入力が簡単になります。nnnn×nn×nn \times n 最終結果は、グリッドを含むグラフになります。これは、実際には、ツリー幅であることがわかっています。n×nn×nn\times n。nnn kの正しい定義kkkツリーの、次のとおりである必要があります。 グラフが呼び出される場合-treeといずれか一方のみ場合Gは有する完全グラフであるk個の頂点、又はGは頂点有するV度Kを- 1の隣人ようにvが形成k個の -cliqueを、そしてGのvがありますkツリー。kkkGGGkkkGGGvvvk−1k−1k-1vvvkkkG vG vG \ vkkk そうすると、上記のようなグリッド状のグラフを作成できなくなります。 私は正しいですか？

13 graph-theory  treewidth 

ましょう固定すること、およびlet Gは、（接続）のグラフです。誤解がない場合、Bodlaender [1、Theorem 3.11]の研究から、Gのツリー幅が約2 k 3以上の場合、Gには星K 1 、kがマイナーとして含まれることになります。kkkGGGGGG2k32k32k^3GGGK1,kK1,kK_{1,k} という用語を小さくできますか？つまり、少なくともkのツリー幅は、K 1 、kマイナーの存在をすでに暗示していると言えますか？どこかに証拠はありますか？2k32k32k^3kkkK1,kK1,kK_{1,k} [1] ボドレンダー、HL（1993）。深さ優先探索による線形時間マイナーテスト。Journal of Algorithms、14（1）、1-23。

12 graph-theory  treewidth  graph-minor 

数週間前にmathoverflowでこの質問をしましたが、返事はありませんでした。 ここで、sidelengthの3Dグリッドによってkkk Iは、グラフ意味G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)とV={1,…,k}3V={1,…,k}3V= \{1,\ldots,k\}^3及び、つまり、ノードは1から kまでの3次元整数座標に配置され、ノードは、正確に1座標ずつ異なる最大6つの他のノードに接続されます。E={((a,b,c),(x,y,z))∣|a−x|+|b−y|+|c−z|=1}E={((a,b,c),(x,y,z))∣|a−x|+|b−y|+|c−z|=1}E=\{( (a,b,c) ,(x,y,z) ) \mid |a-x|+|b-y|+|c-z|=1 \}kkk このグラフの名前は何ですか？3Dグリッドを使用しますが、おそらく3Dメッシュまたは3Dラティスは他の人が慣れているものです。 このグラフのツリー幅またはパス幅は何ですか？これはすでにどこかで公開されていますか？ 私は既に知っている、すなわち、それはより本当に小さいK 2。私にとって、これは、k × kの 2Dグリッドがツリー幅とパス幅kを持っていることを示す標準的な引数が簡単に一般化されないことを示唆しています。tw(G)=(3/4)k2+O(k)tw(G)=(3/4)k2+O(k)tw(G) = (3/4) k^2 + O(k)k2k2k^2k×kk×kk\times kkkk これを見るために、主にの形式のノードセットを使用してグリッドを「スイープ」するパス分解を考えます。観察| S c | ≤ （3 / 4 ）、K 2 + O （K ）、S 3 / 2 kが最大よう設定されています。間セットS C及びSc={(x,y,z)∣x+y+z=c}Sc={(x,y,z)∣x+y+z=c}S_c= \{(x,y,z)\mid x+y+z = c\}|Sc|≤(3/4)k2+O(k)|Sc|≤(3/4)k2+O(k)|S_c| \leq (3/4) k^2 …

12 reference-request  graph-theory  co.combinatorics  treewidth  integer-lattice 

最悪の場合、ツリーの分解は困難ですが、貪欲な方法は、小さな実生活のネットワークでは最適に近いようです。 あるクラスのグラフの「典型的な」インスタンスのツリー分解の困難さについて何か知られていますか？ ツリー分解のための貪欲な方法がひどく機能するグラフのファミリーの例はありますか？

12 ds.algorithms  graph-theory  graph-algorithms  treewidth 

MAJを計算するための上の回路の最小ツリー幅は？{∧,∨,¬}{∧,∨,¬}\{\wedge,\vee,\neg\} ここでMAJ 1つのIFFその入力の少なくとも半分である出力。:{0,1}n→{0,1}:{0,1}n→{0,1}:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}111 私は回路のサイズ（多項式である必要があります）だけを気にし、入力ゲートのファンアウトは任意である可能性がありますが、入力は1回だけ読み取る必要があります（これは回路のツリー幅に重大な影響を与えます-分岐MAJからのバリントンの定理から得られたプログラムは、スキュー回路として解釈されますが、助けにはなりません）。そしてもちろん、ツリーの幅が最も重要です。深さやその他のパラメーターは気にしません。∈∈\in NC1NC1\mathsf{NC}^1 MAJの一般的な回路には次のものがあります。 ウォレスツリー回路（egTheorem 8.9 ここで行わMAJに3対2トリックを使用）？NC1NC1\mathsf{NC}^1 ヴァリアントのモノトーン MAJための回路（例えば定理4 こちら）NC1NC1\mathsf{NC}^1 logO(1)nlogO(1)⁡n\log^{O(1)}{n} Batcherソートなどの深さソートネットワーク AKS選別ネットワーク それらのいずれかが境界または多対数のツリー幅を持っていますか？ または実際、 MAJにはバウンドツリー幅回路がないと信じる理由はありますか？ JansenSarmaを介した読み取り1回の規定がない場合でも、有界ツリー幅回路で計算されるすべての関数は回路で計算できることに注意してください。したがって、このような回路ファミリの妥当性は、1回限りの回路の場合、この限界をさらに厳しくすることができることを示します。NC1NC1\mathsf{NC}^1

12 reference-request  complexity-classes  circuit-complexity  treewidth 

FOCS2013の最近の論文であるGaspersとSzeiderによるBounded Treewidth SATへの強力なバックドアは、SAT句グラフのツリー幅とインスタンスの硬さの間のリンクについて語っています。 ランダムな3-SAT、つまりランダムに選択された3-SATインスタンスの場合、節グラフのツリー幅とインスタンスの硬さとの相関関係はどうですか？ 「インスタンスの硬度」は、「典型的なSATソルバーにとって難しい」、つまり実行時間と見なすことができます。 理論的または経験的なスタイルの回答または参照を探しています。私の知る限り、これに関する経験的な研究はないようです。SAT句のグラフを作成する方法は多少異なることは承知していますが、この質問は区別に焦点を合わせていません。 自然に密接に関連する質問は、節グラフのツリー幅が3-SAT相転移にどのように関係するかです。

11 graph-algorithms  sat  treewidth  random-k-sat  hard-instances 

Courcelleの定理は、モナド2次論理で定義可能なすべてのグラフプロパティは、有界treewidthのグラフ上で線形時間で決定できると述べています。これは、最もよく知られているアルゴリズムメタ定理の1つです。 クルセルの定理に動機付けられて、私は次のような推測をしました。 推測： MSO定義可能なプロパティとする。場合ψは、平面グラフに多項式時間で解けるあり、その後、ψはマイナー-freeグラフのすべてのクラスに多項式時間で解けるです。ψψ\psiψψ\psiψψ\psi 上記の推測が明らかに間違っているかどうか、つまり、平面グラフでは多項式時間で解けるが、あるクラスのマイナーフリーグラフではNP困難なMSO定義可能なプロパティがあるかどうかを知りたいですか？ これが私の以前の質問の背後にある動機です：属gのグラフでは多項式的に解けるが、属> gのグラフではNP困難な問題はありますか？

11 graph-theory  lo.logic  treewidth  planar-graphs  graph-minor 

Elberfeld、Jakoby、およびTantau 2010（ECCC TR10-062）は、Bodlaenderの定理のスペース効率の良いバージョンを証明しました。彼らは、ツリー幅が最大でグラフでは、幅ツリー分解が対数空間を使用して見つかることを示しました。空間境界の定数係数は依存します。（Bodlaenderの定理は、定数係数のに指数関数的に依存する線形時間制限を示します。）kkkkkkkkkkkk 句のセットの幅が狭いと、SATが簡単になります。具体的には、Fischer、Makowsky、およびRavve 2008は、区切られた発生率グラフのツリー幅のCNF式の充足可能性は、ツリー分解が与えられた場合、最大算術演算で決定できることを示しました。Bodlaenderの定理により、固定発生グラフのツリー分解の計算は線形時間で行うことができるため、変数低次多項式である時間内の有界ツリー幅の式に対してSATを決定できます。kkk2O （k ）ん2O（k）ん2^{O(k)} nkkkんんn その場合、SATは、発生率グラフのツリー幅が制限されている式の場合、対数空間を使用して実際に決定可能であると期待できます。フィッシャーらを変更する方法は明らかではありません。SATをスペース効率の良いものに決定するためのアプローチ。アルゴリズムは、包含/除外を介して解の数の式を計算し、小さい式の解の数を再帰的に評価することによって機能します。制限付きツリー幅は役立ちますが、部分式は対数空間で計算するには大きすぎるようです。 これは私に尋ねるように導きます： 境界付きツリー幅式のSATはまたはにあることがわかっていますか？LL\mathsf{L}N LNL\mathsf{NL}

10 cc.complexity-theory  sat  treewidth  space-complexity 

ツリー幅がクリーク数関数、つまりによって上限が定められている素晴らしいグラフクラスはありますか？tw(G)tw(G)tw(G)ω(G)ω(G)\omega(G)tw(G)≤f(ω(G))tw(G)≤f(ω(G))tw(G)\leq f(\omega(G)) たとえば、これは古典的な事実であり、コードグラフ場合、ます。したがって、コードグラフに関連するクラスは、良い候補になる可能性があります。GGGtw(G)=ω(G)−1tw(G)=ω(G)−1tw(G)=\omega(G)-1

10 graph-theory  treewidth