ツリーにエッジの半分を加えたツリー幅はどれくらいの大きさですか？

Gを2n頂点上のツリーとします。Gのツリー幅、tw（G）=1。ここで、グラフHを得るためにGにn個のエッジを追加するとします。tw（H）の簡単な上限はn + 1です。

tw（H）はO（sqrt（n））であるように思われますが、これは単なる漠然とした予感です。2n頂点のツリーにn個のエッジを追加することによって得られるグラフのツリー幅について、O（n）よりも良い上限を知っていますか？

あなたのモデルは、実際には、任意の3正規グラフについて尋ねることほど一般的ではありません。3正規エキスパンダーグラフは、線形ツリー幅を持っています。だから私は定数因子については知りませんが、Θ（n）が最良の可能性です、はい。

Davidが指摘したように、基本的には、平均次数3の連結グラフのツリー幅の境界を求めます。3正規グラフのより特殊なケースでは、次の下限と上限を取得できます。グラフGのパス幅をpw（G）で表すと、

（1）グラフGのtw（G）<= pw（G）（パス分解はツリー分解であるため）

[1]で証明されていること

（2）\ epsilon> 0ごとに、n> = n_0頂点上の3規則グラフGに対して、pw（G）<= n / 6 + \ epsilon * nとなる整数n_0が存在します。

これにより、3正則グラフのツリー幅のほぼn / 6の上限が得られます。

ほぼ確実な下限については、[2]から引用します。

「ランダムキュービックグラフは、少なくとも0.101 nの二等分幅をほぼ確実に持っているため（Kostochka、Melnikov、1992）、n / 20より小さいサイズのセパレータはほぼ確実にない」ため、n / 20より小さい幅のツリー分解はほぼ確実にありません。

2分割幅の「スレ」下限について、[3]は3規則グラフの無限のファミリーを示し、このファミリーの各グラフG =（V、E）は少なくとも0.082 * | V |の2分割幅を持ちます。

[1] Fedor V. Fomin、KjartanHøie：3次グラフのパス幅と正確なアルゴリズム。Inf。処理する。レット。97（5）：191-196（2006）

[2] Jaroslav Nesetril、Patrice Ossona de Mendez：有界拡張IIの卒業生とクラス。アルゴリズムの側面。ユーロ。J.コーム 29（3）：777-791（2008）

[3] Sergei L. Bezrukov、RobertElsässer、Burkhard Monien、Robert Preis、Jean-Pierre Tillich：グラフの二等分幅の新しいスペクトル下限。理論。計算します。科学 320（2-3）：155-174（2004）