有限幅のSATはログスペースで決定可能ですか？

Elberfeld、Jakoby、およびTantau 2010（ECCC TR10-062）は、Bodlaenderの定理のスペース効率の良いバージョンを証明しました。彼らは、ツリー幅が最大でグラフでは、幅ツリー分解が対数空間を使用して見つかることを示しました。空間境界の定数係数は依存します。（Bodlaenderの定理は、定数係数のに指数関数的に依存する線形時間制限を示します。）$k$$k$$k$$k$

句のセットの幅が狭いと、SATが簡単になります。具体的には、Fischer、Makowsky、およびRavve 2008は、区切られた発生率グラフのツリー幅のCNF式の充足可能性は、ツリー分解が与えられた場合、最大算術演算で決定できることを示しました。Bodlaenderの定理により、固定発生グラフのツリー分解の計算は線形時間で行うことができるため、変数低次多項式である時間内の有界ツリー幅の式に対してSATを決定できます。$k$$2^{O(k)} n$$k$$n$

その場合、SATは、発生率グラフのツリー幅が制限されている式の場合、対数空間を使用して実際に決定可能であると期待できます。フィッシャーらを変更する方法は明らかではありません。SATをスペース効率の良いものに決定するためのアプローチ。アルゴリズムは、包含/除外を介して解の数の式を計算し、小さい式の解の数を再帰的に評価することによって機能します。制限付きツリー幅は役立ちますが、部分式は対数空間で計算するには大きすぎるようです。

これは私に尋ねるように導きます：

境界付きツリー幅式のSATはまたはにあることがわかっていますか？$\mathsf{L}$$\mathsf{NL}$

実際、Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010の結果を使用すると、SATは、発生率グラフがツリー幅を制限している式の対数空間で決定できることを示すことができます。この主張の証明の主要なステップがどのように進むかのスケッチを次に示します。

1. ツリー分解とツリー幅の概念は、任意の関係構造に一般化できます。たとえば、Dalmau、Kolaitis、Vardiによるこのペーパーのセクション2と3を参照してください 。
2. クールセルの定理は、MSOロジックは一定のツリー幅の関係構造で線形時間で決定できると述べています。
3. $t$$f(t)\cdot n$
4. 式Fをその発生率グラフIと共にエンコードするために使用できる適切な関係構造を定義できます。τのツリー幅は、最大で定数+ Iのツリー幅です。$\tau$$F$$I$$\tau$$I$
5. 充足可能な公式+それらの発生率グラフをエンコードする関係構造のセットは、MSOで定義可能です。$\tau$
6. したがって、Bodlander + Courcelleの定理によって、一定のツリー幅の式が線形時間で満たされるかどうかを決定できます。
7. Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010は、BodlaenderとCourcelleの定理の両方で、「線形時間」を「対数空間」に置き換えることができることを示しています。
8. $\varphi$$\tau$$\tau$$\varphi$
9. 特に、SATは一定のツリー幅のグラフのログスペースで決定できます。