有界ツリー幅グラフ上のr支配集合の正確なアルゴリズム

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グラフ、与えられた、私は最適な検索したい用-domination。それは私がサブセット必要であり、の内のすべての頂点のようにせいぜいの距離にあるの一部の頂点からのサイズ最小化しながら、。 $G = (V, E)$ $r$ $G$ $S$ $V$ $G$ $r$ $S$ $S$

発見のこの関連問題があります：私は今のところ確認されているものから、私は次のようだのサブセットであるグラフで-centerを最大でサイズのをグラフのすべての頂点があるように頂点から最大距離で（ここでとは両方とも入力の一部です）、Demaine et al。平面グラフ用のFPTアルゴリズムがあります。それ以外の場合、問題はでも -hardです。 $(k,r)$ $S$ $k$ $r$ $S$ $|S| \leq k$ $r$ $W[2]$ $r = 1$

有界ツリー幅グラフまたはツリーだけの支配問題の正確な複雑さについて何か知られていますか？（支配MSOは定義可能ですか？通常の支配集合問題はMSO定義可能です-これにより、Courcelleの定理を使用して、問題の線形時間アルゴリズムがあると結論付けることができます）。この問題に関して条件付き硬さの結果はありますか？ $r$ $r$ $k$

— ニヒル
ソース

5

最適用-dominationのための最適な支配され乗およびその逆。したがって、支配問題は、ツリーの多項式時間で、より一般的には有界ツリー幅グラフで解くことができます。

r

$r$

G

$G$

r

$r$

G^{r}

$G^r$

r

$r$

— vb le

3

@vbleは固定されていると思います。しかし、なぜ支配の問題は有界ツリー幅グラフで解けるのでしょうか？そのようなグラフの能力には、無制限のツリー幅があります。

r

$r$

r

$r$

— ペンO

6

はい、は固定されています、ありがとう。はい、はツリー幅は無制限ですが、クリーク幅には制限があり（GurskiとWankeによる）、通常の支配問題はMSOで定義可能です。

r

$r$

G^{r}

$G^r$

— vb le

@vbleありがとう！参考文献を提供し、コメントを回答にできますか？

— ニキル

@ Nikhil：できました。

— vb le

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（最適） -dominationためののためのものである（最適な）支配乗その逆と副（から得られる最大で距離の異なる頂点間の新しいエッジを追加することによって、）。 $r$ $G$ $r$ $G^r$ $G^r$ $G$ $r$

次の事実はよく知られています：（1）強い弦グラフのすべての力は強く弦です（A. Lubiw、修士論文。Dahlhaus＆Duchet、また、強い弦グラフについて、Ars Combin。24 B（1987）23-30 （2）支配は強い弦グラフの線形時間で解ける（M. Farber。支配、強い弦グラフの独立支配、双対性、Discrete Appl。Math。、7（1984）115–130）。したがって、支配は、特に弦（固定または非固定）の強い弦グラフの多項式時間で解くことができます。 $r$ $r$

Gurski＆Wankeがで証明本稿のクリーク幅こと最大である、ツリー幅であり、。したがって、固定場合、有界ツリー幅グラフの乗は有界クリーク幅になります。したがって、固定場合、支配は有界ツリー幅グラフの多項式時間で解くことができます（クールセルの定理による）。 $G^r$ $2\cdot (r+1)^{\text{tw}(G)+1}−2$ $\text{tw}(G)$ $G$ $r$ $r$ $r$ $r$

— vb le
ソース

9

この問題に対して、ツリー幅グラフで動的プログラミングを行うことは非常に簡単です。バッグ内の各頂点について、部分解の一部の頂点までの最短距離と、未解決の頂点を支配するために必要な将来の解までの距離を維持できます。 $k$

これは合計でテーブルサイズ与えるため、固定この問題はツリー幅によってFPTパラメーター化されますが、が固定されていない場合、これはXPアルゴリズムになります。私の知る限り、この問題がすべての値に対してFPTであるかどうかの問題は未解決です。 $O(r^k)$ $r$ $r$ $r$

— マーティン・ヴァットシェル
ソース

多分変更

へ

？

r^{k}

$r^k$

r^{O (k)}

$r^{O(k)}$

— ダニエル

9

DawarとKreutzerは、平面グラフ、有界（ローカル）ツリー幅のグラフ、（局所的に）除外された未成年者を含むすべてのクラスを含む、グラフのどこにも密集していないクラスで問題が扱いやすい固定パラメーターであることを示しました。

Dvorakは、有界展開のクラスには多項式時定数因子近似があることを示しました。これには、平面グラフ、有界ツリー幅のグラフ、および未成年者が除外されたすべてのクラスが含まれます。

— セバスチャン・シーベルツ
ソース

5

Glencora Borradaile、Hung Leによる最近の論文があります：ツリー分解上のr支配問題のための最適な動的プログラム（IPEC 2016）。ここでは、グラフ、整数、および幅のツリー分解を入力として与え、時間で最適支配集合を計算するアルゴリズムがあることを示しています。さらに、次の意味で、これができる最善の方法であることを示しています。実行時間 $G$ $r$ $G$ $w$ $r$ $G$ $O((2r+1)^wn)$ のための強い指数時間仮説と矛盾することになります。 $O((2r+1-\epsilon)^wn^{O(1)})$ $\epsilon > 0$

— ダニエロ
ソース

2

ツリーの最適なr支配を計算する線形逐次アルゴリズムは、Slaterによるものです。

P.スレーター。グラフのR支配。J. ACM、23（3）：446–450、1976年7月。doi：10.1145 / 321958.321964

同じ設定の分散アルゴリズムは、TurauとKöhlerによるものです。

フォルカー・トゥラウとスヴェン・ケーラー。木の最小距離k支配のための分散アルゴリズム Journal of Graph Algorithms and Applications、19（1）：223–242,5（http://jgaa.info/getPaper?id=354を参照）

— フォルカー・トゥラウ
ソース