タグ付けされた質問 「max-cut」

LET重み関数とのグラフである。最大カットの問題は以下を見つけることです： If重み関数は負ではありません（つまり、すべてのe \ in E に対してw（e）\ geq 0）、max-cutには非常に単純な2近似が多くあります。たとえば、次のことができます。G = （V 、E 、W ）G=(V,E,w)G = (V, E, w)W ：E → Rw:E→Rw:E\rightarrow \mathbb{R}のarg maxのS ⊂ V Σ （U 、V ）∈ E ：U ∈ S 、V ∉ S W （U 、V ）argmaxS⊂V∑(u,v)∈E:u∈S,v∉Sw(u,v)\arg\max_{S \subset V} \sum_{(u,v) \in E : u \in S, v \not …

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OK、これは宿題の質問のように思えるかもしれませんが、ある意味ではそうです。学部のアルゴリズムクラスの宿題として、私は次の古典を与えました。 無向グラフ所与G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)、アルゴリズムを与えることを発見カット(S,S¯)(S,S¯)(S,\bar{S})ようにδ(S,S¯)≥|E|/2δ(S,S¯)≥|E|/2\delta(S,\bar{S})\geq |E|/2、δ(S,S¯)δ(S,S¯)\delta(S,\bar{S})カットを横切るエッジの数です。時間の複雑さはなければなりませんO(V+E)O(V+E)O(V+E)。 何らかの理由で、次の解決策がたくさんありました。今では時間がかかりすぎているので、グレーディングの問題ではありませんが、興味がありました。それは正しいように見えませんが、反例に対する私の試みはすべて失敗しています。ここにあります： Sを設定← ∅S←∅S←∅S\leftarrow \emptyset してみましょうvvvグラフの最大の次数頂点こと vvvをSに追加SSS vに隣接するすべてのエッジを削除しますvvv もしδ(S,S¯)&lt;|E|/2δ(S,S¯)&lt;|E|/2\delta(S,\bar{S}) < |E|/2戻る 手順5のEEEは元のグラフを指していることに注意してください。また、ステップ4をスキップした場合、これは明らかに間違っていることに注意してください（たとえば、2つの孤立したエッジを持つ三角形の結合）。 さて、どんな単純な証明にも次の問題があります-新しい頂点vvvを追加するとき、実際に削除するのかもしれませんd （v ）の新しいエッジ|S||S||S|を追加しながら、カットからのエッジ（d （v ）はエッジが削除されたグラフを指します）。問題は、これが私たちの原因に有害である場合、この頂点vの「使用」度はこれまでよりも高いため、以前に「選択されるべきだった」ということです。d(v)d(v)d(v)d(v)d(v)d(v)vvv これはよく知られたアルゴリズムですか？簡単な反例はありますか？

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計算可能な数が有理数か整数かをアルゴリズムでテストすることはできますか？言い換えれば、それは道具計算数字は機能を提供するために、そのライブラリは可能でしょうisIntegerかisRational？ 私はそれが不可能であると推測し、これは何らかの形で2つの数値が等しいかどうかをテストすることができないという事実に関連していると推測していますが、それを証明する方法はわかりません。 編集：計算数はxxxの関数で与えられるfx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)の合理的な近似値を返すことができxxx高精度でϵϵ\epsilon：|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonいずれについても、ϵ&gt;0ϵ&gt;0\epsilon > 0。このような関数を考えると、それがあれば、テストすることが可能であるx∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}またはx∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}？

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ましょうx1,…,xnx1,…,xnx_1, \ldots, x_n、平面内の点であるR2R2\mathbb{R}^2。点を頂点として、エッジの重みが完全なグラフを考えます。常に総重量の少なくとも\ frac 2 3の重量カットを見つけることができますか？そうでない場合、\ frac 2 3を置き換える定数はどれですか？∥xi−xj∥2‖xi−xj‖2\|x_i - x_j\|^22323\frac 2 32323\frac 2 3 私が見つけることができる最悪の例は、正三角形の3点で、\ frac 2 3を達成し2323\frac 2 3ます。ランダムな分割は\ frac 1 2を生成することに注意してください1212\frac 1 2。しかし、低次元では、ランダムよりも優れたクラスタリングができることは直感的に明らかです。 k&gt; 2のmax-k-cutではどうなりますか？次元d&gt; 2はどうですか？そのような質問に答える枠組みはありますか？Cheegerの不等式については知っていますが、それらはスパースカット（最大カットではない）に適用され、通常のグラフでのみ機能します。 （質問は、分散を最小限に抑えるためにコンピューターグラフィックスで光源をクラスタリングする問題に触発されています）。

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名前またはこの問題への参照を探しています。 重み付きグラフが与えられると、頂点のまでの分割を見つける セットそうカットエッジの値を最大化するように： 一部のセットは空にできることに注意してください。したがって、は入力の一部ではないことを除き、問題は本質的に最大kカットです。アルゴリズムは任意のを選択できますn = | V | S 1、... 、S N C （S 1、··· 、S N）= Σ I ≠ J（Σ （U 、V ）∈ E ：U ∈ S 、I、V ∈ SのJ W （U 、V ）G = （V、E、w ）G=（V、E、w）G = (V, E, w)n = | V|n=|V|n = |V|S1、… 、SnS1、…、SnS_1,\ldots,S_n S i …

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最大カットを近似するためにGoemansアルゴリズムとWilliamsonアルゴリズムを適用すると、0.878…-近似係数が得られるグラフの明示的な例に興味があります。 このようなインスタンスを作成するアルゴリズムは完璧であり、明示的な例と参照で十分です。

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実数行列のカットノルムは、すべてのの最大値の量。||A||C||A||C||A||_CA=(ai,j)∈Rn×nA=(ai,j)∈Rn×nA = (a_{i,j}) \in \mathcal{R}^{n\times n}I⊆[n],J⊆[n]I⊆[n],J⊆[n]I \subseteq [n], J \subseteq [n]∣∣∑i∈I,j∈Jai,j∣∣|∑i∈I,j∈Jai,j|\left|\sum_{i \in I, j \in J}a_{i,j}\right| 二つの行列の間の距離を定義とあるとAAABBBdC(A,B)=||A−B||CdC(A,B)=||A−B||Cd_C(A,B) = ||A-B||_C 距離空間の最小の -net何ですか？（[ 0 、1 ] N × N、D C）ϵϵ\epsilon([0,1]n×n,dC)([0,1]n×n,dC)([0,1]^{n\times n}, d_C) つまり、すべてのに対して、が存在するような最小サブセットのサイズそのような。 A ∈ [ 0 、1 ] N × N A ' ∈ S D C（A 、A '）≤ εS⊂[0,1]n×nS⊂[0,1]n×nS \subset …

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私はユニークゲーム予想と有名なKhot等のMax-Cutへの還元について研究しています。彼らの論文やインターネット上の他の場所から、ほとんどの著者はMAX-CUTの削減と長いコードの特定のテストの構築との間の暗黙の同等性を使用しています（私にとっては何ですか）。その同等性についての私自身の明確さの欠如のために、私はこの一連の考えに従うのに苦労しています。 これらの博覧会から、削減を純粋にグラフの観点から説明できることも明らかであるが、偶然または好みによって、誰もそのようにそれを行うことを選択しなかった。たとえば、オドネルのこれらの講義ノートでは、ロングコードテストは、構築されるグラフのエッジの自然な定義に対応していることを示唆していますが、そのルールが明記されていないため、ルールはカットの選択に依存しているようですテストされているブール関数を定義するために、私はかなり混乱しました。 だから私は誰かに削減を「理論的に」グラフ理論的に説明するように求めています。これは、2つの視点の同等性を理解するのに役立つと思います。

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で最大カット問題、一方がSとSの補体間のエッジの数ができるだけ大きくなるように、所定の単純な無向グラフの頂点の部分集合Sを求めます。 Max-Cutは有界次数グラフ[PY91]ではAPX完全であり、実際には3次グラフ（すなわち、次数3のグラフ）[AK00]ではAPX完全です。 Max-Cutは、最大3つの三角形のないグラフでNP完全です[LY80]（三角形のないことは、入力グラフに、サブグラフとして3つの頂点の完全なグラフであるK_3が含まれないことを意味します）。 質問： Max-Cut APXは三角形のないグラフで完全ですか？（注：任意の角度が許可されています） ありがとうございました。 更新：答えは見つかりましたが、もしあれば、この結果のリファレンスに興味があります。 参照： [AK00] P. AlimontiおよびV. Kann：3次グラフの一部のAPX完全性の結果。理論。計算。サイエンス。237（1-2）：123-134、2000。doi：10.1016 / S0304-3975（98）00158-3 [LY80] JMルイスとM.ヤナカキス：遺伝的特性のノード削除問題はNP完全です。J. Comput。システム。サイエンス。20（2）：219-230、1980。doi：10.1016 / 0022-0000（80）90060-4 [PY91] CH PapadimitriouおよびM. Yannakakis：最適化、近似、および複雑性のクラス、J。Comput。System Sci。、43（3）：425-440、1991。doi：10.1016 / 0022-0000（91）90023-X

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CSP最適化問題は、ランダム割り当ての近似係数を打ち負かすことが難しい場合、近似耐性があります。例えば、MAX 3-LINは、ランダム割り当て満たすので耐性の近似値である1 / 2次方程式の画分が、達成近似係数1 / 2 + εであり、N Pの -hard。NPNPNP1 / 21/21/21 / 2 + ε1/2+ε1/2+ \epsilonNPNPNP MAX CUTは基本的なコンプリートです。これは、2を法とする線形方程式（x i + x j = 1 mod 2）を解くCSP問題として定式化できます。ランダム割り当ては達成 1 / 2（エッジの総数の-approximation因子| E |）。HaglinとVenkatesanは近似率を達成することを証明した1 / 2 + εがされるN Pはすなわちよりも良好なカットを見つける（-hard | E | / 2NPNPNPバツ私+ xj= 1バツ私+バツj=1x_i + x_j= 11 / 21/21/2| E||E||E|1 …

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